闸北区2013学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．

1．设为虚数单位，集合
，集合
，则
　　　　．

2．函数
的反函数为 ．

3．
展开式中
的系数为 ．

4．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为
，则随机变量
的数学期望
　　　　．

5．半径为
的球的内接圆柱的最大侧面积为　　 　．

6．设
为空间直角坐标系内一点，点
在
平面上的射影
的极坐标为
（极坐标系以
为极点，以
轴为极轴），则我们称三元数组
为点
的柱面坐标．已知
点的柱面坐标为
，则直线
与
平面所成的角为　　　 ．

7．设
为
上的奇函数，
为
上的偶函数，且
，
．则
．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）

8．某商场在节日期间举行促销活动，规定：

（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；

（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；

（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．

某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为　　 　．

9．设
，
，
，且
，则函数
的最大值为　　 　．

二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分．

10．命题“对任意的
，
”的否定是 【 】

A．对任意的
，
B．对任意的
，

C．存在
，
D．存在
，

11．设函数
，若
取正值的充要条件是
，则
，
满足 【 】

A．
B．
C．
D．

12．在
平面上有一系列的点
，
，…，
，…， 对于所有正整数
，点
位于函数
的图像上，以点
为圆心的⊙
与
轴相切，且⊙
与⊙
又彼此外切，若
，且
．则
【 】

A．0 B．0.2 C．0.5 D．1

三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

13．本题满分14分

已知
和
，
，且
，求
与
的值．

14．本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面
是矩形，
米，
米，腰梁
、
、
、
分别与相交的底梁所成角均为
．

（1）请指出所有互为异面的且相互垂直

的“梁”，并说明理由；

（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可

储存多少立方米粮食？

15．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分

和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系
中，空间曲面的方程是一个三元方程
．

设
、
为空间中的两个定点，
，我们将曲面
定义为满足

的动点
的轨迹．

（1）试建立一个适当的空间直角坐标系
，求曲面
的方程；

（2）指出和证明曲面
的对称性，并画出曲面
的直观图．

16．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分

设数列
与
满足：对任意
，都有
，
．

其中
为数列
的前
项和．

（1）当
时，求数列
与
的通项公式；

（2）当
时，求数列
的前
项和
．

17．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分

在平面直角坐标系
中，已知曲线
为到定点
的距离与到定直线
的距离相等的动点
的轨迹，曲线
是由曲线
绕坐标原点
按顺时针方向旋转
形成的．

（1）求曲线
与坐标轴的交点坐标，以及曲线
的方程；

（2）过定点

的直线
交曲线
于
、
两点，已知曲线
上存在不同的两点
、
关于直线
对称．问：弦长
是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

高三数学（理科）练习卷答案

一、1．
2．
等 3．

4．1 5．
6．
等

7．
等 8．
9．

第2题的答案也可写为
；第6题的答案也可写为
；第9题的答案也可写为0．

二、10． D； 11．B； 12．C．

三、13．解：

． （4分）

由
，得
（1分）

（1分）

或
（2分）

，

（2分）

又
，

． （2分）

，
，

． （2分）

另解：

① （4分）

由
，得
，

（2分）

② （2分）

由①、②得
（2分）

又
，

（4分）

14．解：（1）
与
，
与
，
与
，
与
， （2分）

由已知，有
，

，

同理，有
（2分）

过点E作
交
点
，则
为异面直线
与
所成的角，

，
，
，

，即
，同理
（3分）

（2）过点
分别作
于点
，
于点
，连接
，则
⊥平面
，

平面
⊥平面
，过点
作
于点
，则
⊥平面

由题意知，
，

，
，

为
中点，
即四棱锥
的高， （2分）

同理，再过点
作
于点
，
于点
，连接
，

原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且
（2分）

（2分）

答：该粮仓可储存
立方米的粮食 （1分）

15．解：（1）如图，以两个定点
，
的中点为坐标原点
，以
，
所在的直线为
轴，以线段

的垂直平分线为
轴，以与
平面垂直的直线为
轴，建立空间直角坐标系
， （1分）

设
，
，

， （2分）

两边平方，得

， （2分）

两边平方，整理得

令
，得
．① （3分）

若点
、
在
轴上，则方程为：

（2）对称性：

由于点
关于坐标原点
的对称点
也满足方程①，说明曲面
关于坐标原点
对称； （1分）

由于点
关于
轴的对称点
也满足方程①，说明曲面
关于
轴对称；同理，曲面
关于
轴对称；关于
轴对称． （1分）

由于点
关于
平面的对称点
也满足方程①，说明曲面
关于
平面对称；同理，曲面
关于
平面对称；关于
平面对称． （2分）

图略． （4分）

16．解：由题意知
，且

两式相减得

即
① （2分）

（1）当
时，由①知

于是