2012—2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

（2）
的所有可能取值为0,1,2,3，

，
，
，
，……………………………………………………………………10分

所以，
的分布列为：

0

1

2

3















所以
的数学期望
………………………………………………………………12分

17．解：（1）
，所以

，…3分

即

，………………………………………………………………4分

当
时，
，
，

所以当
时，函数
的值域是
；……………………………6分

（2）由
，得
，又
，

所以
，………………………………………………………………………8分

因此”
, ……9分

由余弦定理
，得
， ……11分

所以：
。……………………………………………………………………12分

18．解：（1）设第一行依次组成的等差数列的公差是
，等比数列的公比是
，

则
， ……………………………………………2分

， ……………………………………………4分

解得：
，所以：
；……………………………6分

（2）
，

，……………………………8分

记
，则
，

两式相减得:
,所以
,……10分

所以为偶数时，
，为奇数时，
。……12分

19．（1）证明：在菱形
中，因为
，所以
是等边三角形，

又
是线段
的中点，所以
，

因为平面
平面
，所以
平面
，所以

；……2分

在直角梯形
中，
，
，得到：
，从而
，所以
，……………………4分

所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
；………6分

（2）由（1）
平面
，如图，分别

以
所在直线为轴，轴，轴

建立空间直角坐标系，

则
，

………7分

设点
的坐标是
，则
共面，

所以存在实数
使得：

，

得到:
.即点
的坐标是:
, ………8分

由（1）知道：平面
的法向量是
，

设平面
的法向量是
，

则：
，………………………9分

令
，则
，即
，

所以
，………………………………………………11分

即平面
与平面
所成角的余弦值是
。…………………………………12分

20．解：（1）由
，………………………………………2分

又点
在椭圆上，
， ……………………………………4分

所以椭圆方程是：
；……………………………………………………………5分

（2）当
垂直轴时，
，则
的方程是：
，

的方程是：
，交点
的坐标是：
，猜测:存在常数
,

即直线
的方程是:
使得
与
的交点
总在直线
上, ……………………6分

证明：设
的方程是
，点
，

将
的方程代入椭圆
的方程得到：
，

即：
，………………………………………………7分

从而：
，……………………………………………8分

因为：
，

共线

所以：
，
，………………………………………………9分

又
，

要证明
共线，即要证明
，………………………………10分

即证明：
，

即：
，

即：

因为：
成立，…………………12分

所以点
在直线
上。

综上:存在定直线
:
,使得
与
的交点
总在直线
上,的值是
。……13分

21．解：（1）
……………………………………1分

当
即
时，

，函数
在定义域
上是增函数；……2分

当
即
时,由
得到
或
，……4分

所以：当
时，函数
的递增区间是
和
，递减区间是
；…………………………………………………………………………5分

当
即
时，由
得到：
，

所以:当
时,函数
的递增区间是
,递减区间是
；……7分

（2）若函数
是“中值平衡函数”，则存在
（
）使得

即
，