虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)

（时间120分钟，满分150分） 2013.4

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 ．

2、已知复数
，则
．

3、已知
，则
．

4、设
展开式中二项式系数之和为
，各项系数之和为
，则
．

5、已知双曲线与椭圆
有相同的焦点，且渐近线方程为
，则此双曲线方程为 ．

6、如果
，则
的最小值为 ．

7、数列
的通项
，前
项和为
，则
．

8、设
、
是椭圆
的两个焦点，点
在椭圆上，且满足
，则
的面积等于 ．

9、从集合
的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为
，则
的数学期望
．

10、对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

11、在
中，
，
，
，则
面积等于 ．

12、将边长为2的正方形沿对角线
折起，以
，
，
，
为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．

13、设

，称
为整数的
为“希望数”，则在
内所有“希望数”的个数为 ．

14、已知函数
的定义域是使得解析式有意义的
的集合，如果对于定义域内的任意实数
，函数值均为正，则实数
的取值范围是 ．

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、直线
的倾斜角等于（ ）

16、已知函数
与直线
相交，若在
轴右侧的交点自左向右依次记为
，
，
，……，则
等于（ ）

17、若
，
，
，如果有
，
，则
值为（ ）．

0


1

18、正方体
的棱上到异面直线
，
的距离相等的点的个数为（ ）

2．
3．
4．
5．

三、解答题（满分74分）

19、（本题满分12分）如图，
平面
，矩形
的边长
，
，
为
的中点．

（1）证明：
；

（2）如果
，求异面直线
与
所成的角的大小．

20、（本题满分14分）在
中，角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，向量
，
，且
．

（1）求角
；

（2）若
，求
的面积的最大值．

21、（本题满分14分）已知复数
，其中
，
，
，
是虚数单位，且
，
．

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）求和：①
；②
．

22、（本题满分16分）已知抛物线
：

，直线
交此抛物线于不同的两个点
、
．

（1）当直线
过点
时，证明
为定值；

（2）当
时，直线
是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；

（3）如果直线
过点
，过点
再作一条与直线
垂直的直线
交抛物线
于两个不同点
、
．设线段
的中点为
，线段
的中点为
，记线段
的中点为
．问是否存在一条直线和一个定点，使得点
到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．

23、（本题满分18分）定义域为
的函数
，如果对于区间
内
的任意两个数
、
都有
成立，则称此函数在区间
上是“凸函数”．

（1）判断函数
在
上是否是“凸函数”，并证明你的结论；

（2）如果函数
在
上是“凸函数”，求实数
的取值范围；

（3）对于区间
上的“凸函数”
，在
上任取
，
，
，……，
．

① 证明： 当
（
）时，
成立；

② 请再选一个与①不同的且大于1的整数
，

证明：
也成立．

虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
； 2、2； 3、
； 4、
； 5、
；

6、1； 7、7； 8、1； 9、
； 10、
；

11、
； 12、
； 13、9； 14、
或
；

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、
； 16、A； 17、
； 18、
；

三、解答题（满分74分）

19、(12分) 解：（1）连
，由
，得
，同理
，

，由勾股定理逆定理得
，

．……………………3分

由
平面
，得
.由
，

，得
平面
．

．…………6分

（2）取
的中点
，
的中点
，连
、
、
、
．

，
，

的大小等于异面直线
与
所成的角或其补角的大小．………………8分

由
，
，
，得
，
，

，
．
异面直线
与
所成的角的大小为
．…………12分

注：用向量解相应给分．

20、（14分）解：（1）

，

，
，
，……………………5分

又
，

，

，

………………7分

（2）

，
，

，即
…9分

，即
，当且仅当
时等号成立．…12分

，当
时，
．…………14分

21、（14分）解：（1）

，

，
．

由
得
，

………………3分

数列
是以1为首项公比为3的等比数列，数列
是以1为首项公差为2的等差数列，

，
．……………………6分

（2）①由（1）知
，

,
数列
是以
为首项，公比为
的等比数列．

．………………9分

②当
，
时，

当
，
时，

又
也满足上式

………14分

22、（16分）解：（1）
过点
与抛物线有两个交点，设
，由
得
，

．……………………4分

（2）当直线
的斜率存在时，设
，其中
（若
时不合题意）．

由
得
．
，从而
．………6分

从而
，得
，即
，即过定点
．………………8分

当直线
的斜率不存在，设
，代入
得
，
，
，从而
，即
，也过
．

综上所述，当
时，直线
过定点
．…………10分

（3）依题意直线
的斜率存在且不为零，由（1）得点
的纵坐标为
，代入
得