上海市普陀区2013届高三4月质量调研（二模）

理科数学

考生注意： 2013.4

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 函数
的定义域为 .

2. 若
，
（表示虚数单位），且
为纯虚数，则实数
.

3. 若
且
，则
.

4. 若点
在幂函数
的图像上，则函数
的反函数
= .

5. 若
，则
= .

6. 若函数
是偶函数，则函数
的最小值为 .

7. 若双曲线
:
的焦距为
，点
在
的渐近线上，则
的方程为 .

8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为
，则
的方差
= .

9. 若曲线
：
（
为参数且
），则
的长度为 .

10. 若三条直线

和
相交于一点，则行列式
的值为 .

11. △
中，角
、
、
所对的边为
、
、
，若
，
，则
= .

12. 若圆
的半径为3，单位向量
所在的直线与圆相切于定点
，点
是圆上的动点，则
的最大值为 .

13. 函数
的定义域为
，值域为
，则
的取值范围是 .

14. 若
表示
阶矩阵
中第行、第
列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为
，且
（、
）,则
= .

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. 若集合
，
，则
………………………（ ）

.
.
.
.
.
.
.
.

16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为
、
，则
:
=……………………………………………（ ）

. 1:1.
. 2：1.
. 3:2.
. 4:1.

17. 若
，则“关于
的方程
无实根”是“
（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的……………………………………………（ ）

.充分非必要条件.
.必要非充分条件.

.充要条件.
.既非充分又非必要条件.

18.如图，△
是边长为的正三角形，点
在△
所在的平面内，且

（
为常数）.下列结论中，正确的是………………………………………………（ ）

.当
时，满足条件的点
有且只有一个.

.当
时，满足条件的点
有三个.

.当
时，满足条件的点
有无数个.

.当
为任意正实数时，满足条件的点
总是有限个.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

已知函数
（
,
,
）的图像与
轴的交点

为
，它在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和

（1）求函数
的解析式；

（2）若锐角
满足
，求
的值.

20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知
且
，函数
，
，记

（1）求函数
的定义域
及其零点；

（2）若关于
的方程
在区间
内仅有一解，求实数
的取值范围.

21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图，正方体
的棱长为

（1）求直线
与平面
所成角的大小；

（2）求四棱锥
的体积.

22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.

在平面直角坐标系
中，方向向量为
的直线经过椭圆
的右焦点

，与椭圆相交于
、
两点

（1）若点
在
轴的上方，且
，求直线的方程；

（2）若
，
且△
的面积为
，求
的值；

（3）当
（
）变化时，是否存在一点
，使得直线
和
的斜率之和为
,若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.

对于任意的
，若数列
同时满足下列两个条件，则称数列
具有“性质
”：

①
； ②存在实数
,使得
成立.

（1）数列
、
中，
、
（
），判断
、
是否具有“性质
”；

（2）若各项为正数的等比数列
的前
项和为
，且
，
，证明：数列
具有“性质
”，并指出
的取值范围；

（3）若数列
的通项公式
（
）.对于任意的
（
），数列
具有“性质
”，且对满足条件的
的最小值
，求整数的值.

理科数学答案

一.填空题

1.
2.
3.
4.

（
） 5.
6.
7.

8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

二.选择题

题 号

15

16

17

18



答 案

A

C

B

C



三.解答题

19.解：（1）由题意可得
……………………………………………………………1分

即
，
……………………………………………… 3分

，

由
且
，得
………………………………………5分

函数
…… ………………………………………………6分

由于
且
为锐角，所以
…… ………………………………8分

…………………………………10分

……………………12分

20. 解：（1）

（
且
）

，解得
，所以函数
的定义域为
……2分

令

，则
……（*）方程变为

，
，即
……3分

解得
，
……4分

经检验
是（*）的增根，所以方程（*）的解为
……5分

所以函数
的零点为
.……6分

（2）
（
）

……8分

……9分

设
，则函数
在区间
上是减函数…11分

当
时，此时
，
，所以
………………12分

①若
，则
，方程有解；………………13分

②若
，则
，方程有解.……14分

21.解：（1）以
为坐标原点，分别以射线
、
、
为
、
、
轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则
,
,
,
……1分

,
,
……2分

设
是平面
的法向量，则

,即
令
，则
…3分

设直线
与平面
所成角为
，则
……4分

由于
，所以
……5分

即直线
与平面
所成角的大小为
；……6分

（2）由（1）得
……8分

所以点
到平面
的距离
……10分

因为四边形
是矩形，所以面积
……12分

……14分

22.【解】 （1）由题意
，
得
，所以
………………………………1分

且点
在
轴的上方，得
………………………………2分

，
……………………………………3分

直线：
，即直线的方程为
…………………………4分

（2）设
、