2013届高三周考试卷（04）

数学（理）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集
，集合
，
，那么集合

A．
B．

C．
D．

2．设
为实数，若复数
，则

A．
B．
C．
D．

3．直线
截圆
所得劣弧所对的圆心角是

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是

A． B． C.
D.

6．函数
是

A．奇函数且在
上单调递增 B．奇函数且在
上单调递增

C．偶函数且在
上单调递增 D．偶函数且在
上单调递增

7．如图，一条河的两岸平行，河的宽度
m，

一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.

已知
km，水流速度为km/h, 若客船行

驶完航程所用最短时间为
分钟，则客船在静水中

的速度大小为

A．
km/h B．
km/h 图

C．
km/h D．
km/h

8．已知函数
是等差数列，

的值

A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为O D．可正可负

9．已知两定点
和
，动点
在直线
上移动，椭圆
以
为焦点且经过点，记椭圆
的离心率为
，则函数
的大致图像是（ ）

10．已知方程
在
有两个不同的解
（
），则下面结论正确的是：

A．
B．

C．
D．

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分共20分.把答案填在答题卷中的横线上.)

11．运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 .

12．若二项式
的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中
的系数为 ．(用数字作答)

13．已知函数
，则函数
图像与直线
围成的封闭图形的面积是__________。

14．函数
的定义域为D，若对任意的
、
，当
时，都有
，则称函数
在D上为“非减函数”．设函数
在
上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）
；（2）
；（3）
,则
、

．

三．选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．

15.（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点
，点在直线
上运动，当线段
最短时，点的极坐标为 ．

15.（2）（不等式选做题）不等式
的解集是 .

四、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.(本题满分12分)

在
中，
分别是角
的对边，
，
.

（1）求
的值；

（2）若
，求边
的长.

17．（本小题满分12分）

如图，在梯形△ABCD中，AB//CD，AD=DC-=CB=1， ABC=60。，四边形ACFE为矩形，平面ACFE上平面ABCD，CF=1．

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）若M为线段EF的中点，设平面MAB与平面FCB所成角为
，求
．

18.（本小题满分12分）

在平面
内，不等式
确定的平面区域为
，不等式组
确定的平面区域为
.

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域
中任取3个“整点”，求这些“整点”中恰好有2个“整点”落在区域
中的概率；

（2）在区域
中每次任取一个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点落在区域
中的个数为
，求
的分布列和数学期望．

19. （本小题满分12分）

已知数列
满足：
（其中常数
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）当
时，数列
中是否存在不同的三项组成一个等比数列；若存在，求出满足条件的三项，若不存在，说明理由。

20.（本题满分13分）

已知椭圆：
(
)过点
，其左、右焦点分别为
，且
.

(1)求椭圆的方程；

(2)若
是直线
上的两个动点，且
，则以
为直径的圆
是否过定点？请说明理由．

21．（本小题满分14分）

对于定义在实数集上的两个函数
，若存在一次函数
使得，对任意的
，都有
，则把函数
的图像叫函数
的“分界线”。现已知
（
，为自然对数的底数），

（1）求
的递增区间；

（2）当
时，函数
是否存在过点
的“分界线”？若存在，求出函数
的解析式，若不存在，请说明理由。

2013届高三模拟试卷（04）

数学（理）答题纸

一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题：

11.____________________; 12.____________________;

13.____________________; 14.____________________。

三、选做题

15（1）____________________; 15（2）____________________。

三、解答题：

16.

17.

18.

19.

20.

21.

参考答案

一、选择题：ADDCA CBAAC

二、填空题：

11．11；12.9；13．
；14.1、
。

三、选做题： 15（1）
15（2）

四、解答题：

16.解：（1）∵
，
，∴
. ∴
，
，∴

.

（2）∵
，∴
；又由正弦定理
，得
，解得
，
，∴
，
，

即边
的长为5.

17．（1）证明：在梯形
中，

，

，

，

平面
平面
，平面
平面
平面
，

平面
。

（2）由（1）可建立分别以直线
为轴，轴，轴的空间直角坐标系，则

，

设
是平面
的一个法向量，

由
，得
，取
，得
，

是平面
的一个法向量，

18.解：（1）依题可知平面区域
的整点为：
共有13个，上述整点在平面区域
内的为：
共有3个，

∴
.

（2）依题可得，平面区域
的面积为
，设扇形区域中心角为，则
得
，平面区域
与平面区域
相交部分的面积为
.

在区域
任取1个点，则该点在区域

的概率为
，随机变量
的可能取值为：
.

，
，

，
，

∴
的分布列为

0

1

2

3

















∴
的数学期望：
.

（或：
，故
）

19．解：（1）当
时，
，

当
时，因为

所以：

两式相减得到：
，即
，又
，

所以数列
的通项公式是
；

（2）当
时，
，假设存在
成等比数列，

则
．

整理得
．

由奇偶性知
r＋t－2s＝0．

所以
，即
，这与
矛盾，

故不存在这样的正整数
，使得
成等比数列．

20.解：（1）设点
的坐标分别为
，则
，故
，可得
，

所以
，
，

∴
，所以椭圆的方程为
．　

（2）设
的坐标分别为
，则
，
. 由
，可得
，即
，

又圆
的圆心为
半径为
，故圆
的方程为
，即
，也就是
，令
，可得
或，

故圆
必过定点
和
．　

21．解：（1）
，

由
得

①若
，则
，此时
的递增区间为
；

②若
，则
或
，此时
的递增区间为
；

③若
，则
的递增区间为
；

④若
，则
或
，此时
的递增区间为
。

（2）当
时，
，假设存在实数
，使不等式
对
恒成立，

由
得到
对
恒成立，

则
，得
，

下面证明
对
恒成立。

设
，
，
，

且
时，
，
，

时，
，

所以
，即
对
恒成立。

综上，存在函数
的图像是函数
过点
的“分界线”。