2013届高三周考试卷（04）

数学（文）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集
，集合
，
，那么集合

A．
B．
C．
D．

2．设
为实数，若复数
，则

A．
B．
C．
D．

3．直线
截圆
所得劣弧所对的圆心角是

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是

A． B． C.
D.

6．函数
是

A．奇函数且在
上单调递增 B．奇函数且在
上单调递增

C．偶函数且在
上单调递增 D．偶函数且在
上单调递增

7．如图，一条河的两岸平行，河的宽度
m，

一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.

已知
km，水流速度为km/h, 若客船行

驶完航程所用最短时间为
分钟，则客船在静水中

的速度大小为

A．
km/h B．
km/h C．
km/h D．
km/h

8．已知数列{
}满足
，且
，则
的值是( )

A．
B．
C．5 D．

9．若定义在R上的偶函数
满足
，且当
时，
则方程

的解个数是 （ ）

A．0个 B．2个 C．4个 D．6个

10．已知两定点
和
，动点
在直线
上移动，椭圆
以
为焦点且经过点，记椭圆
的离心率为
，则函数
的大致图像是（ ）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分共20分.把答案填在答题卷中的横线上.)

11．运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 .

12．计算：
= ．

13．已知
中，
点是边
的中点，则
等于_______.

14．函数
的定义域为D，若对任意的
、
，当
时，都有
，则称函数
在D上为“非减函数”．设函数
在
上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）
；（2）
；（3）
,则
、

．

15． 不等式
的解集是 .

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.(本题满分12分)

在
中，
分别是角
的对边，
，
.

（1）求
的值；

（2）若
，求边
的长.

17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
后得到如下图的频率分布直方图．

（1）若该校高一年级共有学生
人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（2）若从数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

18.（本小题满分12分）

设为正方形
的中心，四边形
是平行四边形，且平面
平面
，若
.

(1)求证：
平面
.

(2)线段
上是否存在一点
，使
平面
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

已知数列
满足：
（其中常数
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）当
时，数列
中是否存在不同的三项组成一个等比数列；若存在，求出满足条件的三项，若不存在，说明理由。

20.（本题满分13分）

已知椭圆：
(
)过点
，其左、右焦点分别为
，且
.

(1)求椭圆的方程；

(2)若
是直线
上的两个动点，且
，则以
为直径的圆
是否过定点？请说明理由．

21．（本小题满分14分）

对于定义在实数集上的两个函数
，若存在一次函数
使得，对任意的
，都有
，则把函数
的图像叫函数
的“分界线”。现已知
（
，为自然对数的底数），

（1）求
的递增区间；

（2）当
时，函数
是否存在过点
的“分界线”？若存在，求出函数
的解析式，若不存在，请说明理由。

2013届高三模拟试卷（04）

数学（文）试卷答题纸

一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题：

11.____________________; 12.____________________;

13.____________________; 14.____________________。

15____________________。

三、解答题：

16.

17.

18.

19.

20.

21.

参考答案

一、选择题：ADDCA CBBCA

二、填空题：

11．11；12.2；13．6；14.1、
；15．

三、解答题：

16.解：（1）∵
，
，∴
. ∴
，
，∴

.

（2）∵
，∴
；又由正弦定理
，得
，解得
，
，∴
，
，

即边
的长为5.

17． （1）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为
．

由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为
人．

（2）解：成绩在
分数段内的人数为
人，

成绩在
分数段内的人数为
人，

若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有
种

如果两名学生的数学成绩都在
分数段内或都在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在
分数段内，另一个成绩在
分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种

所以所求概率为
．

18.解：(1)在正方形
中，
.

∵
，∴
.

∵
，∴平行四边形
为菱形，∴
.

又∵平面
平面
，∴
平面
，∴
，

而
，∴
平面
.

(2)存在线段
的中点
，使
平面
.

若
是线段
的中点，为
中点，∴
∥
.

∵
平面
，
平面
，∴
平面
，

此时
的值为1.

19．解：（1）当
时，
，

当
时，因为

所以：

两式相减得到：
，即
，又
，

所以数列
的通项公式是
；

（2）当
时，
，假设存在
成等比数列，

则
．

整理得
．

由奇偶性知
r＋t－2s＝0．

所以
，即
，这与
矛盾，

故不存在这样的正整数
，使得
成等比数列．

20.解：（1）设点
的坐标分别为
，则
，故
，可得
，

所以
，
，

∴
，所以椭圆的方程为
．　

（2）设
的坐标分别为
，则
，
. 由
，可得
，即
，

又圆
的圆心为
半径为
，故圆
的方程为
，即
，也就是
，令
，可得
或，

故圆
必过定点
和
．　

21．解：（1）
，

由
得

①若
，则
，此时
的递增区间为
；

②若
，则
或
，此时
的递增区间为
；

③若
，则
的递增区间为
；

④若
，则
或
，此时
的递增区间为
。

（2）当
时，
，假设存在实数
，使不等式
对
恒成立，

由
得到
对
恒成立，

则
，得
，

下面证明
对
恒成立。

设
，
，
，

且
时，
，
，

时，
，

所以
，即
对
恒成立。

综上，存在函数
的图像是函数
过点
的“分界线”。