闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（理科）

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．方程组
的增广矩阵为 ．

2．已知集合
，
，则集合
．

3. 若
，且
为实数，则实数
的值为 ．

4. 用二分法研究方程
的近似解
，借助计算器经过若干次运算得下表：

运算次数

1

…

4

5

6

…



解的范围



…







…



若精确到
，至少运算
次，则
的值为 ．

5．已知
是夹角为
的两个单位向量，向量
若
，

则实数
的值为 ．

6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品

净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，

已知产品净重的范围是区间
，样本中净重在区间

的产品个数是
，则样本中净重在区间

的产品个数是 ．

7. 一个圆锥的底面积为
，且该圆锥的母线与底面所成的角为
，则该圆锥的

侧面积为 ．

8. 在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，以
轴正半轴为

极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线
的极坐标方程为
，曲线
与
相交于

两点
、
，则弦长
等于 .

9. 设双曲线
的左右顶点分别为
、
，
为双曲线右支上一点，且位于第一象限，

直线
、
的斜率分别为
、
，则
的值为 ．

10. 设
的三个内角
所对的边长依次为
，若
的面积为
，

且
，则
．

11. 已知随机变量
所有的取值为
，对应的概率依次为
，若随机变量
的方差
，

则
的值是 ．

12. 公差为
，各项均为正整数的等差数列
中，若
，则
的最小值

等于 ．

13. 已知
的外接圆的圆心为
，
则
．

14．设
是定义在
上的函数，若
，且对任意的
，满足

,则
= ．

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．二项式
展开式中
的系数为 ( )

（A）
． （B）
． （C）
． （D）
．

16．在
中，“
”是“
是钝角三角形”的 ( )

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

17．设函数
，则函数
的最小值是 ( )

（A）
． （B）0． （C）
． （D）
．

18．给出下列四个命题：

① 如果复数
满足
，则复数
在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．

② 设
是定义在
上的函数，且对任意的
，
恒成立，则
是
上的

奇函数或偶函数．

③ 已知曲线
和两定点
，若
是
上的动点，

则
．

④ 设定义在
上的两个函数
、
都有最小值，且对任意的
，命题“
或

”正确，则
的最小值为正数或
的最小值为正数．

上述命题中错误的个数是 （ ）

（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．

如图，在半径为
的半圆形（
为圆心）铝皮上截取一块矩形材料
，其中点
、

在直径上，点
、
在圆周上．

（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：

①设
，矩形
的面积为
，求
的表达式，并写出
的范围．

②设
，矩形
的面积为
，求
的表达式，并写出
的范围．

（2）怎样截取才能使截得的矩形
的面积最大？并求最大面积．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．

如图，在直三棱柱
中，
，
，
，点
分别在棱
上，且
．

（1）求四棱锥
的体积；

（2）求
所在半平面与
所在半平面所成二面角
的余弦值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．

已知椭圆
的中心在坐标原点
，焦点在坐标轴上，且经过
两点，

是
上的动点．

（1）求
的最大值；

（2）若平行于
的直线
在
轴上的截距为
，直线
交椭圆
于两个不同点
，

求证：直线
与直线
的倾斜角互补．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．

已知
．

（1）当
时，判断
的奇偶性，并说明理由；

（2）当
时，若
，求
的值；

（3）若
，且对任何
不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

如图，过坐标原点
作倾斜角为
的直线交抛物线
于
点，过
点作倾斜角为
的直线交
轴于
点，交
于
点；过
点作倾斜角为
的直线交
轴于
点，交
于
点；过
点作倾斜角为
的直线，交
轴于
点，交
于
点；如此下去……．又设线段
的长分别为
，

的面积分别为
数列
的前
项的和为
．

（1）求
；

（2）求
，
；

（3）设
，数列
的前
项和为
，

对于正整数
，若
，且
，

试比较
与
的大小．

闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案与评分标准

一、（第1题至第14题）

1．
； 2．
； 3．
； 4．5.3； 5．
； 6．44； 7．
； 8．
； 9．
； 10．
； 11．
； 12．
； 13．
； 14．
．

二、（第15题至第18题） 15．D； 16．A； 17．B； 18．D．

三、（第19题至第23题）

19. [解]①由
，得
，其中
2分

所以

即
，
………………………………4分

②连接
，则

……………………2分

所以

即

． ……………………4分

（2）①由

得当
即当
时，
取最大值
．…… 4分

此时
，

当
取
时，矩形
的面积最大，最大面积为
．… 2分

②
，

当且仅当
，即
时，
取最大值
．……4分，

当
取
时，矩形
的面积最大，最大面积为
．… 2分

20.[解]（1）

……7分

（2）建立如图所示的直角坐标系，则
,
,
,
，

,
……………………2分

设平面
的法向量为
，则