康杰中学2013年数学（理）模拟试题（一）

命题人：卫会民 审题人：张阳朋

2013.4.20

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

复数
=（ ）k#s5uA.
B.
C.
D.

已知命题
则
为（ ）A.
B.
C.
D.

中心在坐标原点的椭圆，焦点在轴上，焦距为4，离心率为
，则该椭圆的方程为（ ）A.
B.
C.
D.

设
，是变量和的个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（ ）A.和正相关B.和的相关系数为直线l的斜率C.和的相关系数在-1到0之间D. 当为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

在
中，角A、B、C所对的边长分别为
,sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（ ）A.
B.
C.
D.

已知等差数列
满足
，则n的值为（ ）A. 8 B. 9 C.10 D. 11

在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（ ）A.
B.
C.
D.

阅读程序框图（如右图），如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）A.
B.
C.
D.

下图是两个全等的正三角形.给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如下图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如下图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如下图.其中真命题的个数是（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

已知等差数列
满足
，若数列
满足
，则
的通项公式为
=（ ）A.
B.
C.
D.

F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若
是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B.
C.
D.

设方程
的两个根分别为
、
，则（ ）A.

<0 B.

=1 C.

>1 D. 0<

<1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

的值为 .

有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方案的种数为 （用数字作答）.

在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则
的最大值为 .

设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足
，则
的最大值是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

（本小题满分12分）已知函数
.（I）求函数
的最小正周期；（II）求函数
在区间
上的最大值和最小值.

（本小题满分12分）某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图.（I）估计全市学生综合素质成绩的平均值；（II）若评定成绩不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市学生中任选3名学生（看作有放回的抽样），变量
表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量
分布列及期望E(
).

（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.（I）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1；（II）若三棱柱ABC —A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°.问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP底面ACC1A1，若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由.

（本小题满分12分）已知直线
和直线
.若抛物线
上的点到直线
和直线
的距离之和的最小值为2.（I）求抛物线C的方程；（II）若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线
交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）已知函数
.（I）求函数
的单调区间；（II）若
、
是函数
图象上不同的两点，且
为
的导函数，求证：
；（III）求证：
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明如图，AB是⊙O的直径，BE为圆O的切线，点C为⊙O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，边结BD、CD.（I）求证：BD平分∠CBE；（II）求证：AH·BH=AE·HC.

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系
中，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.（I）求曲线
的普通方程；（II）曲线
的方程
，设P、Q分别为曲线
与曲线
上的任意一点，求|PQ|的最小值.

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲k#s5u已知函数
.（I）解关于的不等式
；（II）若
的解集非空，求实数m的取值范围.