高三数学（理科）4月考试试题 2013.4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x－3≤0），N={x|－1≤x≤4}，则M
N等于（ ）

A． {x | 1≤x≤4} B． {x |－1≤x≤3} C． {x |－3≤x≤4} D． {x |－1≤x≤1}

2．复数
表示复平面内的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知命题
为直线，
为平面，若
则
;命题
若
则
,则下列命题为真命题的是（ ）

A．
或
B．
或
C．
且
D．
且

4．设a=30．3，b=log
3，c=log0．3 e则a，b，c的大小关系是（ ）

A．a

5．将函数
的图象向右平移
个单位后，则所得的图象对应的解析式为（ ）

A．y=sin 2x B．y=cos 2x C．y=sin（2x+
D．y=sin（2x一
）

6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的

直径为4，该几何体的体积为
，直径为4的球的体积

为
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

7．设实数x，y满足不等式组
，则z=2x+y的最大值为（ ）

A．13 B．19 C．24 D．29

8．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为
右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）

7 9

8 6 3 8

9 3 9 8 8 4 1 5

10 3 1

11 4

A．
B．
C．
D．

9.已知

为
的导函数，则
的图像是（ ）

10．设
,则二项式
展开式中的第4项为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知椭圆方程
，双曲线
的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．2 D．3

12．已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数
的图象关于直线x=－1对称，则f（201 3）=（ ）

A．0 B．201 3 C．3 D．—201 3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.已知不等式
≤
的解集不是空集，则实数
的取值范围是

14．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 .

15．若圆C以抛物线y2=4x的焦点为圆心， 截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆

的标准方程是

1 6．根据下面一组等式

S1=1

S2=2+3=5

S3=4+5+6=1 5

S4=7+8+9+1 0=34

S5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65

S6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1

S7=22+23+24+25+26+27+28=1 75

… … … … … … … …

可得S1+S3+S5+……+S2n-1= .

三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知锐角△
中的内角
、
、
的对边分别为
，定义向量
且

（1）求
的单调减区间；

（2）如果
求
面积的最大值.

18.（本小题满分12分）

某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数
依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数
的为一等品，
的为二等品，
的为三等品.

若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；

（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；

（2）该厂生产一件产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数
的关系式为
，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，
（1）当λ=
时,求证AB1丄平面A1BD;

(2)当二面角A—A1D—B的大小为
时,求实数λ的值.

20.（本小题满分12分）已知数列
中，

（1）求数列
的通项公式

（2）若数列
满足
数列
的前
项和为
若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.

21、(本小题满分12分)

已知椭圆C：
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点(
，-l)．

22、(本小题满分14分)

已知函数

(1)若曲线
在点(1，
)处的切线与直线
垂直，求实数a的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)当
时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≥－e-4．

高三数学（理科）4月考试参考答案

1

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4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

B

B

D

A

A

D

A

A

C

A



13、
≥2 14、32 15、
16、

18

19.解：（Ⅰ）取
的中点为
，连结

在正三棱柱
中面
面
，
为正三角形，所以
，

故
平面
．

以
为坐标原点建立如图空间直角坐标系
，――――2分

则
，
，
，
，
．

所以
，
，
，

因为
，

所以
，又
，

所以
平面
． ――――－6分

（Ⅱ）由⑴得
，所以
，
，
，

设平面
的法向量
，平面
的法向量
，

由
得平面
的一个法向量为
，

同理可得平面
的一个法向量
，

由
，解得
，为所求．――――12分

a











负

0

正





减函数

极小值

增函数



…………………………………12分

又
…………………………13分

所以当
时， g(a)≥－e-4…………………………14分