广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷

注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
（k=0，1，2，…，n）

球的表面积公式S＝4R
，其中R表示球的半径

球的体积公式V＝
，其中R表示球的半径

一、选择题

1. 已知集合A＝{x｜|x|≤2，x∈R}，B＝{x｜
≤2，x∈Z}，则A∩B＝

A. （0，2） B. [0，2] C. {0，2} D. {0，1，2}

2. 若（a+4i）i=b+i（a，b∈R），i为虚数单位，则a+b＝

A. 3 B. 5 C. －3 D. －5

3. 函数f（x）＝3+sinx，x∈[0，1）的反函数的定义域是

A. [0，1） B. [1，3+sin1） C. [0，4） D. [0，+）

4. 设S
是等差数列{a
}的前n项和，S
=3（a
+a
），则
的值为

A.
B.
C.
D.

5. 已知函数y=2sin（2x+）（||<
）的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为

A. x=
B. x=
C. x=－
D. x=－

6. 已经双曲线x
－m
y
=m
（m>0）的一条渐近线与直线2x－y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为

A. x=
B. x=
C. x=
D. x=

7. 设（x－b）
=b
+b
x+b
x
+…+b
x
，如果b
+b
=－6，则实数b的值为

A.
B. －
C. 2 D. －2

8. 在△ABC中，D为BC边上的点，
=

+
，则
的最大值为

A. 1 B.
C.
D.

9. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2
，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为

A. 4 B. 12 C. 16 D. 64

10. 定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x－3）的图象关于点（3，0）成中心对称，若s，t满足f（s
－2s） ≥－f（2t－t
），则

A. s≥t B. s

11. 设抛物线C的方程为y
=4x，O为坐标原点，P为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，若直线PM与ON相交于点Q，则cos∠MQN=

A.
B. －
C.
D. －

12. 在8×8棋盘的64个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为

A. 64 B. 128 C. 204 D. 408

第Ⅱ卷

注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 曲线y=
在点（0，2）处的切线方程为_______.

14. 若cos（
－）=
，则cos（
+2）=________.

15. x，y满足约束条件
，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是_________.

16. 已知正三棱锥S－ABC的高为3，底面边长为6，过点A向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使
=8，则过P且平行于底面的截面的面积为______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=acosC，a
+b
=4（a+b）－8，求c的值。

18. （本小题满分12分）

在某国际高端经济论坛上，前六位发言的是与会的含有甲、乙的6名中国经济学专家，他们的发言顺序通过随机抽签方式决定.

（Ⅰ）求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率；

（Ⅱ）发言中甲、乙两位专家之间的中国专家数记为
，求
的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A
B
C
的侧面A
ACC
与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA
⊥A
C，AA
=A
C.

（Ⅰ）证明：AC⊥BA
；

（Ⅱ）求侧面A
ABB
与底面ABC所成二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知函数f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.

（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；

（Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

21. （本小题满分12分）

如图，已知椭圆C：
+
=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F
、F
，A是椭圆C上的一点，AF
⊥F
F
，O是坐标原点，OB垂直AF
于B，且OF
=3OB.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x
+y
=t
上任意点M（x
，y
）处的切线交椭圆C于Q
、Q
两点，那么OQ
⊥OQ
”成立.

22. （本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{a
}满足a
=2a
+a
a
，且a
+a
=2a
+4，其中n∈N
.

（Ⅰ）若b
=
，求数列{b
}的通项公式；

（Ⅱ）证明：
+
+…+
>
（n≥2）.

【试题答案】

评分说明：

1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分.

2. 第二题填空题，不给中间分.

3. 解答与证明题，本答案给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

6. 只给整数分数.

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

B

D

A

B

A

D

C

C

D

C





二、填空题

13. x+y－2=0 14.
15. （－4，2） 16.

三、解答与证明题

17. （本小题满分10分）

解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 2分

因为00.从而sinC=cosC.

又cosC0，所以tanC=1，故C=
. 5分

由a
+b
=4（a+b）－8，得（a－2）
+（b－2）
=0，则a=2，b=2. 7分

又由余弦定理得c
=a
+b
－2abcosC=8－4
， 9分

所以c=
. 10分

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A，则

P（A）=
=
. 3分

答：甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率为
. 4分

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3，4. 5分

P（
=0）=
=
，P（
=1）=
=
，

P（
=2）=
=
，P（
=3）=
=
，

P（
=4）=
=
. 9分

的分布列为

0

1

2

3

4



P













 10分

∴E
=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
. 12分

19. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OA
，OB，BA
，则

， 2分

. 4分

∴AC⊥面BOA
. 5分

∵BA
面BOA
，∴AC⊥BA
. 6分

（Ⅱ）解法一：∵面A
ACC
⊥面ABC，A
O⊥AC，

∴A
O⊥面ABC. 7分

过点O作OH⊥AB于H，连结A
H，则A
H⊥AB，

∴∠A
HO为所求二面角的平面角. 9分

在等边△ABC中，OH=
，A
H=
. ∴cos∠A
HO=
=
. 11分

∴侧面A
ABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
. 12分

解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA
所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 7分

则A（0，－2，0），B（2
，0，0），C（0，2，0），A
（0，0，2），

C
（0，4，2），设n=（x，y，z）是面A
ABB
的一个法向量，则n⊥
，n⊥
，

∵
=（0，2，2），
=（2
，2，0）， 8分

∴
取x=1，得n=（1，－
，
）. 9分

易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1）， 10分

所以cos=
=
. 11分

∴ 侧面A
ABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
. 12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）若a=1?，则f（x）=x|x－1|－lnx.

当x∈[1，e]时，f（x）=x
－x－lnx，f′（x）=2x－1－
=
>0，

所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）
=f（e）=e
－e－1. 4分

（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>
. *

（i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0，
<0，不等式*恒成立，

所以a∈R； 5分

（ii）当x=1时，|1－a|≥0，
=0，所以a1； 6分

（iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于ax+
恒成立.

令h（x）=x－
，则h′（x）=
.

因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1.

因为a

令g（x）=x+
，则g′（x）=
.再令e（x）=x
+1－lnx，则e′（x）=2x－
>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上无最大值. 11分

综上所述，满足条件的a的取值范围是（－，1）. 12分

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）解法一：由题设AF
⊥F
F
及F
（－c，0），F
（c，0），不妨设点A（c，y），其中y>0，由于点A在椭圆上，有
+
=1，

+
=1，解得y=
，从而得到A
. 1分

直线AF
的方程为y=
（x+c），整理得b
x－2acy+b
c=0. 2分

由题设，原点O到直线AF
的距离为
|OF
|，即
=
， 3分

将c
=a
－b
代入原式并化简得a
=2b
，即a=
b.

∴e=
=