2012学年浙江省五校联考

数学（文科）试题卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
，
，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
若
为实数，则实数
的值为( )

A．
B．
C．
D．

3．程序框图如图所示，其输出结果是
，则判断框中所填的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知等比数列
的公比为
，则“
”是“
为递减数列”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．关于直线
，
及平面
，下列命题中正确的是（ ）

A．若l∥
，则l∥m B．若
∥
，m∥
，则
∥m

C．若l⊥
，l∥
，则
D．若l∥
，m⊥l，则m⊥

6．已知
，则
＝（ ）

A．9 B．3 C．1 D．2

7．若实数
满足约束条件
，且目标函数
的最大值等于 ( )

A．2 B．3 C．4 D．1

8．设
，则函数
（ ）

A．在
上单调递减，在
上单调递增 B．在
上单调递增，在
上单调递减

C．在
上单调递增，在
上单调递增 D．在
上单调递减，在
上单调递减

9．函数
的所有零点之和等于（ ）

A．
B． 2
C． 3
D． 4

10．已知
是双曲线
的两个顶点，点
是双曲线上异于
的一点，连接
（
为坐标原点）交椭圆
于点
，如果设直线
的斜率分别为
，且
，假设
，则
的值为（ ）

A．1 B．
C． 2 D．4

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是_______．

12．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名
同学中学习时间在6~8小时内的人数为 ．

13．若等差数列
的前
项和为
，若
，则
_________．

14．一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________．

15．已知双曲线
的渐近线与圆
相切，则该双曲线的离心率为_________．

16．设
为实数，
为不超过实数
的最大整数，记
，则
的取值范围为
，现定义无穷数列
如下：
，当
时，
；当
时，
．如果
，则
．

17．已知正实数
满足
，且
恒成立，则
的取值范围是________．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

已知函数
．

(Ⅰ)若方程
在
上有解，求
的取值范围；

(Ⅱ )在
中，
分别是A，B，C所对的边，若
，且
，求
的最小值．

19．（本题满分14分）

已知正项数列
的首项
，前
项和
满足

．

（Ⅰ）求证：
为等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为
，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

20．（本题满分14分）

四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．

(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；

(Ⅱ) 求二面角F－CD－G的正切值．

21．（本题满分15分）

已知函数
．

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)设
,若在
上至少存在一点
，使得
成立，求
的范围．

22．（本题满分15分）

已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，
．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ) 设点
是抛物线上的两点，
的角平分线与
轴垂直，求
的面积最大时直线
的方程．

2012学年浙江省五校联考

数学（文科）答案

一、选择题

1－5 BDBDC 6-10 BCABC

10、提示：
，
，又

是方程
的两根，

二、填空题

11、
12、30 13、3：2 14、
15、
16、
17、

17、提示：
，令
，则

因为
，且
在
上递增

所以
时，
，

方法二：令
，因此
对
恒成立

记
，则

三、解答题

18、（1）
，

当
时，

．

（2）
，

19、（Ⅰ）解：因为
，所以
，

即
，所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，得
，

所以

，当
时
也适合．

所以
．

（Ⅱ）因为

所以，
，

20、证明：(Ⅰ) 延长BG交AD于点D，

而
,
,所以
,

(Ⅱ)过点F作
易知

过M作
连接FN，则

即所求二面角的平面角

不妨令PA＝AB=1，则
所以
．

21、(Ⅰ)解：
．
在
，
上单调递减，在
上单调递增．

(Ⅱ)令
，则

即

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，

由题意可知
，
，
；

当
时，
在
上为增函数，在
，
上为减函数，

，由题意可知
，
；

当
时，
在
上为增函数，在
，
上为减函数，

，由题意可知
，
，

恒成立，
此时不合题意．

综上所述，
的取值范围为

方法二：在
上至少存在一点
，使得
成立，即：不等式
在
有解

也即：
（
）有解

记
，则

令

因此，
在
单调递减，在
单调递增，

所以，
的取值范围为

22、解：（1）设
，因为
，由抛物线的定义得
，又
，所以
，

因此
，解得
，从而抛物线的方程为
．

（2）由（1）知点
的坐标为
，因为
的角平分线与
轴垂直，所以可知
的倾斜角互补，即
的斜率互为相反数

设直线
的斜率为
，则
，由题意
，

把
代入抛物线方程得
，该方程的解为4、
，

由韦达定理得
，即
，同理