广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试

数学试卷（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷

注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
（k=0，1，2…，n）

球的表面积公式S＝4R
其中R表示球的半径

球的体积公式V＝
其中R表示球的半径

一、选择题

1. 已知集合A＝{x｜|x|≤2，x∈R}，B＝{x｜
≤2，x∈Z}，则A∩B＝

A. （0，2） B. [0，2] C. {0，2} D. {0，1，2}

2. 如果函数f（x）=sin
（>0）的最小正周期为
，则的值为

A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

3. 函数y=1+2
的反函数为y=g（x），则g（5）=

A. 2 B. －2 C. －4 D. 4

4. 设S
是等差数列{a
}的前n项和，S
=3（a
+a
），则
的值为

A.
B.
C.
D.

5. 在正三棱柱ABC－A
B
C
中，已知AB=2，AA
=3，则BB
与平面AB
C
所成的角为

A.
B.
C.
D.

6. 下列4个数中，最大的是

A. lg（lg2） B. （lg2）
C. lg
D. lg2

7. 已知双曲线x
－m
y
=m
（m>0）的一条渐近线与直线2x－y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为

A. x=
B. x=
C. x=
D. x=

8. 设（x－b）
=b
+b
x+b
x
+…+b
x
，如果b
+b
=－6，则实数b的值为

A.
B. －
C. 2 D. －2

9. 在△ABC中，D为BC边上的点，
=

+
，则
的最大值为

A. 1 B.
C.
D.

10. 已知抛物线y
=4px（p>0）与双曲线
－
=1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

11. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2
，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为

A. 4 B. 12 C. 16 D. 64

12. 在8×8棋盘的64个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为

A. 64 B. 128 C. 204 D. 408

第Ⅱ卷

注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 用简单随机抽样方法从含有300个个体的总体中抽取一个容量为20的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为______。

14. 若cos（
－）=
，则cos（
+2）=________.

15. 若实数x，y满足
则z=
的最大值为 _______.

16. 已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，且PA=2AB=2，则点A到平面PBC的距离为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=acosC，a
+b
=4（a+b）－8，求c的值。

18. （本小题满分12分）

在某国际高端经济论坛上，前六位发言的是与会的含有甲、乙的6名中国经济学专家，他们的发言顺序通过随机抽签方式决定.

（Ⅰ）求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率；

（Ⅱ）求发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率.

19. （本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A
B
C
的侧面A
ACC
与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA
⊥A
C，AA
=A
C.

（Ⅰ）证明：AC⊥BA
；

（Ⅱ）求侧面A
ABB
与底面ABC所成二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知等差数列{a
}的首项a
0，前n项和为S
，且S
+a
=2S
，等比数列{b
}满足b
=a
，b
=a
.

（Ⅰ）求证：数列{b
}中的每一项都是数列{a
}中的项；

（Ⅱ）若a
=2，设c
=
，求数列{c
}的前n项和T
.

21. （本小题满分12分）

已知函数f（x）=ax
+bx
－3x（a，b∈R）在x=1处取得极值.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若过点A（1，m）（m－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

22. （本小题满分12分）

如图，已知椭圆C：
+
=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F
、F
，A是椭圆C上的一点，AF
⊥F
F
，O是坐标原点，OB垂直AF
于B，且OF
=3OB.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x
+y
=t
上任意点M（x
，y
）处的切线交椭圆C于Q
、Q
两点，那么OQ
⊥OQ
”成立.

【试卷答案】

评分说明：

1. 第一题选择题，选对得分，不选、错选或多选一律得0分.

2. 第二题填空题，不给中间分.

3. 解答与证明题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

4. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

5. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

6. 只给整数分数.

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

B

D

A

D

B

A

D

C

C

C





二、填空题

13.
14.
15. 3 16.

三、解答与证明题

17. （本小题满分10分）

解：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 2分

因为00.从而sinC=cosC.

又cosC0，所以tanC=1，故C=
. 5分

由a
+b
=4（a+b）－8，得（a－2）
+（b－2）
=0，则a=2，b=2. 7分

又由余弦定理得c
=a
+b
－2abcosC=8－4
， 9分

所以c=
. 10分

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件A， 1分

则P（A）=
=
. 4分

答：甲、乙两位专家恰好安排在前两位出场的概率为
. 5分

（Ⅱ）设“发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家”为事件B，

则P（B）=
=
. 10分

答：发言中甲、乙两位专家之间恰有1位中国专家的概率为
. 12分

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：（1）取AC的中点O，连结OA
，OB，BA
，则

， 2分

. 4分

∴AC⊥面BOA
. 5分

∵BA
面BOA
，∴AC⊥BA
. 6分

（Ⅱ）解法一：∵面A
ACC
⊥面ABC，A
O⊥AC，

∴A
O⊥面ABC. 7分

过点O作OH⊥AB于H，连结A
H，则A
H⊥AB，

∴∠A
HO为所求二面角的平面角. 9分

在等边△ABC中，OH=
，A
H=
. ∴cos∠A
HO=
=
. 11分

∴侧面A
ABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
. 12分

解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA
所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 7分

则A（0，－2，0），B（2
，0，0），C（0，2，0），A
（0，0，2），

C
（0，4，2），设n=（x，y，z）是面A
ABB
的一个法向量，则n⊥
，n⊥
，

∵
=（0，2，2），
=（2
，2，0）， 8分

∴
取x=1，得n=（1，－
，
）. 9分

易知平面ABC的法向量为m=（0，0，1）， 10分

所以cos=
=
. 11分

∴ 侧面A
ABB
与底面ABC所成的二面角为arccos
. 12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设等差数列{a
}的公差为d，由S
+a
=2S
，得4a
+6d+a
+d=6a
+6d，

∴a
=d. 2分

则a
=a
+（n－1）d=na
，∴ b
=2a
，b
=4a
.

等比数列{b
}的公比q=
=2. 4分

则b
=2a
·2
=2
·a
，∵2
∈N
，

∴{b
}中的每一项都是{a
}中的项. 6分

（Ⅱ）当a
=2时，b
=2
，c
=
=2
. 8分

则T
=c
+c
+…+c
=2
=2

=
. 12分

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax
+2bx－3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，

即
解得a=1，b=0. ∴f（x）=x
－3x. 4分

（Ⅱ）f′（x）=3x
－3=3（x+1）（x－1）.

∵曲线方程为y=x
－3x， ∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x
，y
），则点M的坐标满足y
=x
－3x
.因f′（x
）=3（x
－1），

故切线的斜率为3（x
－1）=
，整理得2x
－3x
+m+3=0. 7分

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x
的方程2x
－3x
+m+3=0有三个实根. 8分

设g（x
）=2x
－3x
+m+3，则g′（x
）=6x
－6x
，由g′（x
）=0，得x
=0或x
=1.

∴函数g（x
）=2x
－3x
+m+3的极值点为x