2012学年浙江省五校联考

数学（理科）试题卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
若
为实数，则实数
的值为( )

A．
B．
C．
D．

3．程序框图如图所示，其输出结果是
，则判断框中所填的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设平面
与平面
相交于直线
，直线
在平面
内，直线
在平面
内，且
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5． 设数列
为等差数列，其前n项和为
，已知
，若对任意
都有
成立，则k的值为（ ）

A．22 B．21 C．20 D．19

6．设
，函数
在
单调递减，则
（ ）

A．在
上单调递减，在
上单调递增 B．在
上单调递增，在
上单调递减

C．在
上单调递增，在
上单调递增 D．在
上单调递减，在
上单调递减

7．已知圆
的半径为2，
是圆上两点且

，
是一条直径，点
在圆内且满足

，则
的最小值为（ ）

A．－2 B．－1 C．－3 D．－4

8．已知实数
满足
，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为
的直角三角形，则
的值是 ( )

A．
B．－2 C．2 D．

9．现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在0、1、2、…、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（ ）

A．12600 B．6300 C．5040 D．2520

10．如图，已知抛物线的方程为
，过点
作直线
与抛物线相交于
两点，点
的坐标为
，连接
，设
与
轴分别相交于
两点．如果
的斜率与
的斜率的乘积为
，则
的大小等于（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知
，则
＝_______．

12．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是_______．

13．
的展开式中
项的系数为_______．

14．已知双曲线
的渐近线与圆
有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．

15．已知正实数
满足
，且
恒成立，则
的最大值是________．

16．设
为实数，
为不超过实数
的最大整数，记
，则
的取值范围为
，现定义无穷数列
如下：
，当
时，
；当
时，
．当
时，对任意的自然数
都有
，则实数
的值为 ．

17．设函数
（
为实数），在区间
和
上单调递增，则实数
的取值范围为______________．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

已知向量m=
，n=
，函数
m
n
．

(Ⅰ)若方程
在
上有解，求
的取值范围；

(Ⅱ)在
中，
分别是A，B，C所对的边，当（Ⅰ）中的
取最大值且
时，求
的最小值．

19．（本题满分14分）

一个口袋中装有2个白球和
个红球（
且
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．

(Ⅰ) 摸球一次，若中奖概率为
，求
的值；

(Ⅱ) 若
，摸球三次，记中奖的次数为
，试写出
的分布列并求其期望．

20．（本题满分14分）

已知直角梯形
中，
是边长为2的等边三角形，
．沿
将
折起，使
至
处，且
；然后再将
沿
折起，使
至
处，且面
面
，
和
在面
的同侧．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求平面
与平面
所构成的锐二面角的余弦值．

21．（本题满分15分）

已知椭圆
的离心率为
，且经过点
．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)如果过点
的直线与椭圆交于
两点（
点与
点不重合），

求
的值；

当
为等腰直角三角形时，求直线
的方程．

22．（本题满分15分）

已知函数
，它的一个极值点是
．

(Ⅰ) 求
的值及
的值域；

(Ⅱ)设函数
，试求函数
的零点的个数．

2012学年浙江省五校联考

数学（理科）答案

一．选择题

1－5 CDBBC 6－10 ACABD

10、提示：

二．填空题

11、
12、
13、25 14、
15、
16、
17、

17、提示：设
的两根是
， 则

在
，又

由
在
可知，
在

又
在
，且
，则
在

在
当且仅当
，

三．解答题

18、（1）
，

当
时，

．

（2）
，

19、（1）

（2）若
，则每次摸球中奖的概率

因此，
，分布列如下：

0

1

2

3



P













20、(Ⅰ)证明：已知直角梯形ABCD中，可算得

根据勾股定理可得
，即：
，又
，
；

(Ⅱ)

以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，如图

则C(0，0，0),

作
，因为面
面
，易知，
，且

从平面图形中可知：

易知面CDE的法向量为

设面PAD的法向量为
，且
．

解得

21、（1）因为椭圆经过点

，因为
，解得
，

所以椭圆的方程为
．

（2）若过点
的直线的斜率不存在，此时
两点中有一个点与
点重合，不满足题目条件．

所以直线
的斜率存在，设其斜率为
，则
的方程为
，

把
代入椭圆方程得
，设
，则
，

，
，

因为
，所以

由知：
，如果
为等腰直角三角形，设
的中点为
，则

，且

若
，则
，显然满足
，此时直线
的方程为
；

若
，则
，解得
，所以直线
的方程为
，即
或
．

综上所述：直线
的方程为
或
或
．

22、（1）
，

因为它的一个极值点是
，所以有
，可得
或
．

当
时，分析可知：
在区间
单调递减，在区间
单调递增；

由此可求得，
的值域为
；

当
时，分析可知：
在区间
单调递减，在区间
单调递增；

由此可求得，
的值域为
．

（2）函数
的零点个数问题可转化为函数
的图象与函数
的图象的交点个数问题．

．因为
，所以
，所以
．

设
，则
，所以函数
在区间
上单调递增

所以
，即有
．

所以
．

所以，函数