揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一．选择题：BCDA DACC

解析：1．由
得
，
，故选B．

2．由
得

,选C．

3．设
，由
得
，所以选D．

4．由
得
，选A．

5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.
，故选D.

6．令
，则
，由
得
即函数
在
上单调递增，由
得
，即函数
在
上单调递减，所以当
时，函数
有最小值，
，于是对任意的
，有
，故排除B、D,因函数
在
上单调递减，则函数
在
上递增，故排除C,所以答案选A.

7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是
，顺序有
种，而甲乙被分在同一所学校的有
种，所以不同的安排方法种数是
．故选C.

8. 因

，故


，故选C.

二．填空题：9.
；10.
；11.
；12.
（或
）；13.2；

14.
（或
）；15.
.

解析：9．依题意得
，则
=

．

10．双曲线
的右焦点为
，渐近线的方程为
，所以所求直线方程为
即
．

11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为
，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：

12．由“
，使得
”是真命题，得

或


.

13．令
，则点
满足
，在
平面内画

出点
所构成的平面区域如图，易得其面积为2.

14．把
化为直角坐标系的方程为
，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为
化为极坐标系的方程为
或

15.依题意知
,则AD=2，过点D作DG
于G，则AG=BE=1，所以
.

三．解答题：

16．解：（1）函数
要有意义，需满足：
，

解得
，------------2分

即
的定义域为
-------------------------------------4分

（2）∵


--------6分

-------------------------------------------------8分

由
，得
, 又

∴
，∵是第四象限的角∴
，
---------------------10分

∴
．-----------------------------------------------------------12分

17. 解：（1）设表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，

依题意知，每次抽到二等品的概率为

，------------------------------2分

故
. ------------------------------------------5分

(2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分

P(ξ＝0)＝·＝＝， P(ξ＝1)＝·＋·＝，

P(ξ＝2)＝·＋·＝， P(ξ＝3)＝·＝．-----------------------------10分

ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











--------------------------------11分

数学期望为Eξ＝1×+2×+3×=1.2．-------------------------------------------------------12分

18．解：（1）
，
，
， --------------------------------1分

∵
，
，
成等比数列，∴
， --------------------------------2分

解得
或
． --------------------------------3分

当
时，
，不符合题意舍去，故
．-------------------------------4分

（2）当
时，由
，
，……
，

得
．--------------------------------6分

又
，
，∴
．-------------------------8分

当
时，上式也成立，∴
．--------------------------------9分

（3）由
得
，即
--------------------------10分

∵
,∴

--------------------------------11分

令
，得
，令
得
----------------------13分

∴使
成立的最小自然数
．--------------------------------14分

19．解：（1）依题意得
平面
，
=
-------2分

由
得，
,

∴
----------------------------------------------------------------------4分

（2）证法一：过点M作
交BF于
，

过点N作
交BF于
，连结
,------------5分

∵
∴

又∵
∴
--------------------------------7分

∴四边形
为平行四边形，--------------------------------------------------------8分

--------------------10分

【法二：过点M作
交EF于G，连结NG，则

--------------------------------------------------------------6分

，------------7分

同理可证得
，又
, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分

∵MN平面MNG,
．----------------------------------------------------10分】

（3）法一：取CF的中点为Q，连结MQ、NQ，则MQ//AC，

∴
或其补角为异面直线MN与AC所成的角，--------11分

∵
且
∴
,

---------------------------------------------------------------------12分

即MN与AC所成角的余弦值为
．--------------------------------14分

【法二：∵
且

分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. --------------11分

则
----12分

，……………………………………………13分

所以与AC所成角的余弦值为
．…………………………………………………14分】

20. 解：(1)∵
，即
，

∴所求抛物线的方程为
--------------------------------2分

∴设圆的半径为r，则
，∴圆的方程为
.--------------4分

(2) 设
，由
得

∵
，∴
， --------------------------------6分

∵
,∴
=

=

=256

∴
,当且仅当
时取等号，

∴
面积最小值为
.-------------------------------------------9分

(3) 设
关于直线对称，且
中点

∵
在抛物线
上，∴

两式相减得：
--------------------------------11分

∴
，∴

∵
在
上

∴
，点
在抛物线外--------------------------------13分

∴在抛物线
上不存在两点
关于直线对称. --------------------------14分

21．解：（1）解法1：∵
-------1分

当
时，

当
时，
，即函数
在
上单调递减，

∴
， --------------------------------------------------3分

当
时，

当
时，
，即函数
在
上单调递减，

∴
---------------------------------------------------5分

【解法2：当
时，