重庆市江北中学校2012-2013学年（上）半期考试

高2013级数学（理科）试题

命题人 费良琼 审题人 游绍斌

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.复数z=1-i的虚部是（ ）

A. 1 B. -1 C. i D. –i

2. 己知
，则
=( )

A.
B
C.
D.

3．
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4. 函数
零点的个数是 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

5. 函数y＝3sin(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

6. 已知等差数列
的前项和为
,则数列
的前100项和为（　　）

A．
B．
C．
D．

7. 在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

8．
=（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知△ABC为等边三角形,
,设点P,Q满足
,
,
,若
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

10. 若
均为单位向量，且
，则
的最大值为（ ）

A. 3 B.
C. 1 D.
+1

填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11．设是虚数单位，则
=

12. 曲线y=
-x+3在点（1，3）出的切线方程为

13. 设
的最大值为16，则
。

14. 已知，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m =（
），

n＝（cosA,sinA）.若m ⊥n，且
，则角＝ .

15. 对于下列命题：①在△ABC中，若
，则△ABC为等腰三角形；②已知a， b，c是△ABC的三边长，若
，
，
，则△ABC有两组解；③设
，
，
,则
；④将函数
图象向左平移
个单位，得到函数
图象。其中正确命题的个数是 .

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16． (本小题13分)已知数列
的前项和为
，满足
，且
依次是等比数列
的前两项。

（1）求数列
及
的通项公式；

（2）是否存在常数
且
，使得数列
是常数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

17.(本小题13分) 已知向量
＝(cos
x，sin
x)，
，且x∈[0，
]．

（1）求

（2）设函数
=
+
，求函数
的最值及相应的的值。

18. (本小题满分13分)

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
；两人租车时间都不会超过四小时。

（1）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
，求
的分布列与数学期望

19．（本小题满分12分）已知函数

（1）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（2）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值．

20.（本小题满分12分）已知
.

（1）求函数
在
上的最小值；

（2）对一切
恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切
，都有
成立.

21. （本小题满分12分）设数列
的前项和为
,满足
,

,且
，
，
成等差数列.

(1)求
，
的值;

(2)
是等比数列

(3)证明:对一切正整数,有
.

重庆市江北中学校2012-2013学年（上）半期考试

高2013级数学（理科）试题答案

命题人 费良琼 审题人 游绍斌

一．BDACB ABDAC

二．11.
12. 2x-y+1=0 13.
14.
15. (3)(4)

16. （13分）解：（1）n=1,

(2)存在
，

为常数列，

17. （13分）解：（1）由已知条件：
， 得：

=2sinx

(2)

=

18.（13分）解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为
，………2分

付2元为
，

付4元为
…………………4分

则所付费用相同的概率为
……………6分

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为
，
可为0,2,4,6,8

…………………10分

分布列





























…………………13分

19．（本小题满分12分）解:（I）
…………3分

则
的最小值是
,最大值是
． ……………………6分

（II）
,则
,

,
,

,
, ……………………………8分

向量
与向量
共线

， 由正弦定理得，
　　　　 ①………10分

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
． ………………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（1）
定义域为
，
，

当
单调递减，

当
，
单调递增. …………………………2分

①
无解； ……………………………3分

单调递减，
单调递增…… 8分

在
上，有唯一极小值
，即为最小值.

所以
，因为对一切
恒成成立，

所以
； …………………9分

（3）问题等价于证明
，

由（1）可知
的最小值是
，当且仅当
时取到，

设
，则
，

易得
，当且仅当
时取到， …………………11分

从而对一切
，都有
成立. …………………12分

21.（本小题12分）解：（1）

（2）由
得

相减得



是首项为3，公比为3的等比数列

（3）

因为
,所以
,所以
,于是
.