2013年稽阳联谊学校高三联考

数学（文科）试题

命题： 胡乐斌 金涵龙 羊健康

注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

球的表面积公式：
，其中
表示球的半径；

球的体积公式：
其中
表示球的半径；

棱柱体积公式：
，其中
为棱柱底面面积，
为棱柱的高；

棱锥体积公式：
，其中
为棱柱底面面积，
为棱柱的高；

棱台的体积公式：
，其中
、
分别表示棱台的上、下底面积，
为棱台的高；

如果事件
、
互斥，那么

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集
,
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
满足
，则复数
的实部是 （ ）

A.
B.
C.
D.

3.设函数
，则“
”是“
”的 （ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

4．函数
与直线
的交点中，最近两点间的距离为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5.设
、
是两条不同的直线，
、
、
是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，
，则
②若
，
，
，则

③若
，
，则
④若
，
，则

其中正确命题的序号是　 （　 ）

A.①②　　　　　B.②③　　　　C.③④　 　　D.①④.

6. 数列
的前
项和为
，若
，则这个数列一定是 （ ）

A．等比数列 B．等差数列

C．从第二项起是等比数列 D．从第二项起是等差数列

7.若
表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序

框图，则输出的S值为 （ ）

A． 5 B．7 C．9 D．11

8.已知
，若不等式
恒成立，

则实数
的最大值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知双曲线
的顶点与焦点分别是椭圆

的焦点与顶点，若双曲线
的两条渐近线与椭圆的交点构成的

四边形为正方形，则双曲线
的离心率是 （ ）

A．3 B．2 C．
D．

10.已知函数
，若
的角
所对的三条边分别是
，且
，则以下选择支中一定成立的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.已知某学校老、中、青三代教师的数量之比为
，全部教师参加体检后，学校准备

抽样调查教师健康情况，现用分层抽样的方法抽出

容量为
的样本，如果样本里老年教师有
人，

那么样本容量
▲ .

12.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一

次出现的点数为
，第二次出现的点数为
，则函数

的最小正周期大于
的概率是 ▲ .

13. 一空间几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积为 ▲ ．

14. 已知四边形
为菱形，边长为
，
，
（其中

且
），则当
最小时，
▲ .

15. 已知实数
，
满足
，若
的最大值为
，则实数
的

值为 ▲ ．

16. 在平面直角坐标系
中，圆
：
，若直线
上至少存在一点，

使得以该点为圆心，
为半径的圆与圆
有公共点，则
的最小值是 ▲ ．

17.已知
为实数，若函数
，
在区间
上均为减函数，则
的最大值是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. （本题满分14分）已知
是锐角
的三个内角，
的对边分别为a，b，c，若
，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
，求
的周长．

19. （本题满分14分）已知数列
满足
，（
为常数），且
，

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
满足：
，求数列
的前
项和
．

20.（本题满分14分）如图，三棱柱
中，
底面
，
，

，且
是
中点.

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值.

21. （本题满分15分）已知函数
，其中
，函数

．

（Ⅰ）当
时，函数
的值恒为非负数，且
在
处取到极大值，求
的值；

（Ⅱ）若
在
和
处分别取得极大值和极小值，设
，
是坐标原点，若直线
与直线
垂直，求
的最小值.

22. （本题满分15分）直线
过抛物线
：
上一点
，且在两坐标轴上截距相等.

（Ⅰ）若满足条件的直线
有且仅有一条，求
的方程；

（Ⅱ）直线
与抛物线相交于另一点
，若抛物线
上存在另一点
，使
为正三角形，求
的值.

2013年稽阳联谊学校高三联考

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一.选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

B

D

A

A

C

B

D

A



解析：

1、
，故
，答案为

2、
，答案为

3、
，但
时，
也成立，故答案为

4、
，最大值为2，最小正周期
，答案

5、命题①②成立，③④不成立，得答案为

6、
时，
，答案为

7、由
的意义得：
，
，

列计算得答案为

8、分离变量得
，而
最小值为
，故答案为B

9、双曲线方程为：
，由条件：
，所以：
.可得答案为

10、可得
在
内单调递增，又
，

，从而
，
，

可得
，
，结合
在
内单调递增，可得答案为

二.填空题：

11、
分析：由比例关系得样本中老、中、青老师分别为
、
、
人

12、
分析：
，可得
，列举得符合条件的情况共
种，故概率为

13、
分析：几何体为四棱锥，

14、
分析： 由向量运算的几何意义得点
落在线段
上，当
最小时，
从而
，

15、
分析：先求出：
，得出
的值为

16、
分析：
,由条件：
到直线
的距离
，解得：
.

17、
分析：由条件：
，
,递减区间为
，
,所以：
，得
.

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分14分）已知
是锐角
的三个内角，
的对边分别为a，b，c，若
，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
，求
周长的最大值．

解：（Ⅰ）由条件：
， 3分

， 6分

由已知
，得：
； 7分

（Ⅱ）由余弦定理得：
11分

所以：
13分

得：
的周长为
. 14分

【注：其它解法，相应给分】

19. （本题满分14分）已知数列
满足
，（
为常数），且
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
满足：
，求数列
的前
项和
．

解：（Ⅰ）由已知：数列
成等差，
，
，

解
，