房山区2013年高考第一次模拟试卷

数 学 （文科） 2013.04

本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知全集
，集合
，则



A.

B.



C.

D.



2.已知
为等差数列，
为其前
项和.若
，则



A.

B.



C.

D.



3.执行如图所示的程序框图．若输出
， 则框图中

① 处可以填入

A.

B.

C.

D.



4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，则

环数

4

5

6

7

8



环数

5

6

9



频数

1

1

1

1

1



频数

3

1

1



 甲 乙



A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数

B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数



C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差

D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差



5. “
”是“函数
存在零点”的



A. 充分但不必要条件

B. 必要但不充分条件



C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件



6.在正三角形
中，
，
是
上一点，且
，则



A.

B.



C.

D.



7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥

的四个面的面积中，最大的是

A.

B.

C.

D.



8.设集合
是
的子集，如果点
满足：
，称
为

集合
的聚点.则下列集合中以
为聚点的有：

①
； ②
； ③
； ④



A.②③

B. ②④

C. ①③

D. ①③④



二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 复数
.

10.在△ABC中，角
所对的边分别为
，
则角
的大小

为 .

11.直线
与圆
相交于
两点，则线段
的长等于 .

12.若不等式组
表示的平面区域是一个锐角三角形，则
的取值范是 .

13.某商品在最近
天内的单价
与时间
的函数关系是

日销售量
与时间
的函数关系是
.则这种商品

的日销售额的最大值为 .

14.已知函数
的定义域是D，若对于任意
，当
时，都有
，

则称函数
在D上为非减函数.设函数
在
上为非减函数，且满足以下三个

条件：①
； ②
； ③
.则
，

.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.(本小题满分13分)

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值和最大值．

16. （本小题满分14分）

在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
//
，

，
，
，
为

的中点．

（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；

（Ⅱ）求证：
．

17. （本小题满分13分）


日均值(微克/立方米)



3

3













4

8

1











7

9

3











9

7














是指大气中直径小于或等于
微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国
标准采用世卫组织设定的最宽限值，即
日均值在
微克/立方米以下空气质量为一级；在
微克/立方米

微克/立方米之间空气质量为二级；在
微克/立方米以上空气质量为超标．

某城市环保局从该市市区
年全年每天的
监测数据中随机的抽取
天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

(Ⅰ) 若从这
天的数据中随机抽出
天，求至多有一天空气质量超标的概率；

(Ⅱ)根据这
天的
日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按
天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？

18. (本小题满分13分)

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若对任意的
，都有
成立，求a的取值范围.

19. (本小题满分14分)

已知椭圆
和点
，垂直于
轴的直线与椭圆
交于
两点，连结
交椭圆
于另一点
.

（Ⅰ）求椭圆
的焦点坐标和离心率；

（Ⅱ）证明直线
与
轴相交于定点.

20.（本小题满分13分）

对于实数
，将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分，用记号
表示．例如
对于实数
，无穷数列
满足如下条件：

，
其中

（Ⅰ）若
，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
时，对任意的
，都有
，求符合要求的实数
构成的集合
；

（Ⅲ）设
（
是正整数，
与
互质），对于大于
的任意正整数
，是否都有
成立，证明你的结论．

房山区高三年级第一次模拟考试参考答案

数 学 （文科） 2013.04

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.
10.
或
11.

12.
13.
14.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15（本小题满分13分）

（Ⅰ）

………………………… 4分

……………………… 6分

周期为
………………………7分

（Ⅱ）



………………………………9分

当
时，
此时
…………………………11分

当
时，
此时
…………13分

16（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC,FO

//
,
,
为
中点

AE//BC,且AE=BC

四边形ABCE为平行四边形 …………………1分

O为AC中点 ………………………………...2分

又
F为AD中点

//
………………………......….4分

..……..……..5分

//
…………………………………………..……..……..7分

（Ⅱ）连接

…………………………….…………….8分

…………………………………..………..9分

……………………………………………………….…….....12 分

………………………………………………………………….14 分

17（本小题满分13分）

解：由茎叶图可知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标………2分

记未超标的4天为
，超标的两天为
，则从6天抽取2天的所有情况为：

，

基本事件总数为15 ……………………………………………………4分

（Ⅰ）记“至多有一天空气质量超标”为事件
，则“两天都超标”为事件
，

易得
，

所以
………………………………9分

（Ⅱ）
天中空气质量达到一级或二级的频率为
……………11分

，

所以估计一年中平均有
天的空气质量达到一级或二级. ………… 13分

（说明：答243天，244天不扣分）

18（本小题满分13分）

（Ⅰ）
时，
………………1分

………………………………………………2分

曲线
在点
处的切线方程
………………3分

（Ⅱ）
…………………………………………………4分

①当
时，
恒成立，函数
的递增区间为

………………………………………………………………6分

②当
时，令
，解得
或

x

( 0,
)



(
,1)



f’(x)

-



+



f(x)

减



增



所以函数
的递增区间为
，递减区间为

…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）对任意的
，使
成立，只需任意的
，

①当
时，
在
上是增函数，

所以只需

而

所以
满足题意； …………………………………………………………