内江市2013届高中三年级第二次模拟考试试题

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置。

1、设集合
则

2、已知
（为虚单位），则复数在复平面上所对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、函数
的零点所在区间为

4、已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出结果是

A．9 B．27 C．81 D．729

5、
的二项展开式中，常数项为

6、已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为

7、已知向量
且向量
与
垂直，则

8、某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是

A．90万元 B．80万元 C．70万元 D．60万元

9、若函数
对任意实数满足
且
时，
，则函数
的图象与
的图象的交点个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

10、过椭圆C：
的右焦点F作直线
交椭圆C于A、B两点，交轴于点M，若
，则

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分。请把答案填在答题卡上的相应横线上。

11、已知
，则
。

12、若直线
与圆O：
交于A、B两点，且
，则实数

13、已知三棱锥
的底面是边长为
的正三角形，侧棱垂直底面且侧棱长为2，则该三棱锥的外接球表面积是

14、从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的概率是

15、在实数集R中定义一种运算“
”，对任意
为唯一确定的实数且具有性质：（1）对任意
，有
；（2）对任意
，有
；（3）对任意
，有
。已知函数
，则下列命题中：（1）函数
的最小值为3；（2）函数
为奇函数；（3）函数
的单调递增区间为
、
。其中正确例题的序号有

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本题满分12分）设
的内角A、B、C所对应的边分别为
，
（1）当
时，求的值；（2）当
面积为3时，求
的值。

17、（本题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如右图：（1）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（2）以上述数据统计，甲、乙两名队员得分超过15分的概率做为概率，假设甲、乙两名队员在比赛中得分多少互不影响，求本赛季接下来的2场比赛中，甲、乙两名队员得分均超过15分的场数
的分布列和期望。

（本题满分12分）如图，在多面体
中，
为菱形，
，
面
，
面
，
为
中点，
面
。（1）求证：
面
；（2）若
，求二面角
的余弦值。

（本题满分12分）已知动圆P过定点
，且与直线
相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点是F，点
在椭圆N上。

求动圆圆心P的轨迹M的方程和椭圆N的方程；

已知与轨迹M在
处的切线平行的直线与椭圆N交于B、C两点，试探求使
面积等于
的直线
是否存在？若存在，请求出直线
的方程；若不存在，请说明理由。

（本题满分13分）已知数列
的前项和为
，且

证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

若
，求函数
在点
处的导数
；

比较
与
的大小。

（本题满分14分）已知函数
的图象在点
处的切线方程为

用表示出
；

若
在
上恒成立，求的取值范围；

证明：
。