一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1．已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内,复数
对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )

A． B．
C．
D．

3．下列函数中既是偶函数,又是区间
上的减函数的是( )

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
,则
=( )

A．
B．
C．
D．

5．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

A．
B．

C．
D．

6．已知实数
满足条件
则使得目标函数

取得最大值的
的值分别为( )

A．0，12 B．12，0 C．8，4 D．7，5

7．函数
的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,
是图象与轴的交点,记
,则
的值是( )

A．
B．
C．
D．

8．下列命题中:①“
”是“
”的充要条件;

②已知随机变量服从正态分布
,
,则
;

③若n组数据
的散点图都在直线
上,则这n组数据的相关系数为
;

④函数
的所有零点存在区间是
.其中正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如右图所示，单位圆中弧
的长为,
表示弧
与弦
所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数
的图象是( )

10．抛物线
的焦点为,点
在此抛物线上,且
,弦
的中点
在该抛物线准线上的射影为
,则
的最大值为( )

A．
B．
C．1 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11．下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.

12．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是__________.

13．已知二项式
展开式中的常数项为,且函数
,则
___________.

14．已知数列
为等差数列,若
,

,则
.类比上述结论,对于等比数列

,若

,则可以得到
＝____________.

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.

15.(1)（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线l与圆
相交于
两点,若
,则直线l的极坐标方程为____________.

(2)（不等式选做题）不等式
对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.

四、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知向量
,函数

(1)求函数
的最小正周期T及单调减区间;

(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
,
,且
.求A，b的长和ABC的面积.

17.（本小题满分12分）

小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
,且每个问题回答正确与否相互独立.

(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;

(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.

18.（本小题满分12分）

各项均为正数的数列
前项和为
,且
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)已知公比为
的等比数列
满足
，且存在
满足
,
,求数列
的通项公式.

19.（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱
中，
，
是
的中点，
是线段
上的动点（与端点不重合），且
.

(1)若
，求证:
;

(2)若直线
与平面
所成角的大小为
，求
的最大值.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设不过原点的直线
与椭圆交于两点
、，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求△
面积的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知函数
（
）.

(1)若函数
在
处取得极大值,求的值;

(2)
时,函数
图象上的点都在
所表示的区域内,求的取值范围;

(3)证明:
，
.

2013届高三模拟试卷（02）数学（理）【参考答案】

二、填空题

11.3 12.
13.

14.bm＋n＝..解析：观察{an}的性质：am＋n＝,则联想nb－ma对应等比数列{bn}中的,而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方,故bm＋n＝.

三、选做题

15.（1）
. 解析：设极点为O,由该圆的极坐标方程为ρ＝4,知该圆的半径为4,又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4,所以∠AOB＝60°,∴极点到直线l的距离为d＝4×cos30°＝2,所以该直线的极坐标方程为
.

（2）
或
.解析：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2－3a≥4即可,解得
或
.

四、解答题

16.解析：(1)
…………（2分）

…………………………（4分）

单调递减区间是
…………（6分）

(2)
; …………………………………………8分）

…………（10分）
. ………………………………（12分）

17.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,

则P1＝2＝. …………（4分）

(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X＝0)＝＋×＝,

P(X＝1000)＝2＝, P(X＝3000)＝22＝,

P(X＝6000)＝22＝,

∴X的概率分布列为

X

0

1000

3000

6000



P













…………………（10分）(错一列扣2分，扣完为止)

∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160. ……（12分）

18.解析：(1)
，

两式相减得：
，…………………………………（2分）

即

，………………………………（4分）

为首项为1，公差为2的等差数列，故
………………………（6分）

(2)
，依题意得
，相除得
……（8分）

，代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分）

或
.…………………………………………………………………（12分）

19.解析：如图,建立空间直角系,则
…（1分）

(1)当
时,
,此时
,
,…（3分）

因为
，所以
.………………（5分）

(2)设平面ABN的法向量
，则
，

即
，取
。而
，………………（7分）


………………（9分）

，
，故
………（11分）

当且仅当
，即
时，等号成立. …………………………………………（12分）

20.解析:(1)由已知得


∴
方程：

（4分）

(2)由题意可设直线
的方程为：

联立
消去并整理，得：

则△

,

此时设
、
∴

于是
………………（7分）

又直线
、
、
的斜率依次成等比数列，

∴

由
得：


.又由△
得：

显然
（否则：
，则
中至少有一个为0，直线
、
中至少有一个斜率不存在，矛盾！） ……………………………（10分）

设原点
到直线
的距离为
,则

故由得取值范围可得△
面积的取值范围为
…………（13分）

21.解析：(1)
，由
经检验符合题意……（3分）

(2)依题意知，不等式
在
恒成立.令
,

当k≤0时