江西省吉安县二中2013届高三数学考试（理科）

参考公式：

如果事件
互斥，那么

球的体积公式
其中表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数
（为虚数单位）的虚部是（　　）

A．
B．
C．
D．

2．设
的值（　　）

A．
B．
C．
D．

3．下列有关命题的说法正确的是（　　）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“存在
，使得
”的否定是：“对任意
，均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（　　）

5．右面是“二分法”求方程
在区间
上的近似解

　的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（　　）

A．
；是；否

B．
；是；否

C．
；是；否

D．
；否；是

6．已知数列
的通项公式是
，其前项和是
，对任意的
且
，则
的最大值是（ ）

A．
B． C． D．

7．已知双曲线
的离心率为2，则椭圆
的离心率为（　　）

A．
B．
C．
D．

8．函数
在坐标原点附近的图象可能是（　　）

9．如右图，给定两个平面向量
和
，它们的夹角为
，点在以为圆心的圆弧
上，且
（其中
），则满足
的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
是定义在实数集R上的奇函数，且当
时，
成立（其中
的导函数），若
，
，则
的大小关系是（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上

11.若二项式
的展开式中的常数项为
,则
= 　　 .

12．如果函数
在区间
上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是　　　　　　．

13．已知实数
满足
，若不等式
恒成立，则实数的最大值是________________．

14．已知三棱锥
，
两两垂直且长度均为6，长为2的线段
的一个端点
在棱
上运动，另一个端点在
内运动（含边界），则
的中点的轨迹与三棱锥的面
围成的几何体的体积为 ．

三、选做题（本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分）

15．①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点
，参数
，点Q在曲线C：
上，则点与点
之间距离的最小值为 ．

②（不等式选讲选做题）若存在实数满足
,则实数的取值范围是___．

四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数
，

（1）求函数
的最大值和最小正周期；

（2）设
的内角
的对边分别
且
,
，若
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：

（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图；

（2）若从年龄在
的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图，在边长为4的菱形
中，
．点
分别在边
上，点与点
不重合，
．沿
将
翻折到
的位置，使平面
平面
．

（1）求证：
平面
；

（2）设点
满足
，试探究：当
取得最小值时，直线
与平面
所成角的大小是否一定大于
？并说明理由．

19．（本小题满分12分）

设数列
的前项和为
，且满足

（1）求数列
的通项公式；

（2）在数列
的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列
，在
两项之间插入个数，使这
个数构成等差数列，求
的值；

（3）对于（2）中的数列
，若
，并求
（用表示）．

20.（本小题满分13分）

设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为，离心率为
，在轴负半轴上有一点，且

（1）若过
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点
作斜率为的直线与椭圆C交于
两点，在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

21．（本题满分14分）

已知
，函数

（1）求
的极小值；

（2）若
在
上为单调增函数，求的取值范围；

（3）设
，若在
（是自然对数的底数）上至少存在一个
，使得
成立，求的取值范围．

高三数学（理）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

D

D

C

D

C

A

B

A





二、填空题

11．
12．
13．
14．

三、选做题

15．①4
-1　②

四、解答题

16．解析：（1）
……………．3分

则
的最大值为0，

最小正周期是
………………………………………………6分

（2）
则

由正弦定理得
①………………………………9分

由余弦定理得

即
②

由①②解得

………………………………………12分

17．解：（1）

（2）
所有可能取值有0，1，2，3，

，

………………………………………………10分

所以
的分布列是

0

1

2

3















所以
的期值是
……………………………………12分

18．解：（1）证明：∵　菱形
的对角线互相垂直，∴
，∴
，

∵
，∴
．

∵　平面
⊥平面
，平面
平面

，且
平面
，

∴　
平面
, ∵
平面
，∴　
． ∵
，∴　
平面
．……………………………… 4分

（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系
．

设
因为
，所以
为等边三角形，

故
，
．又设
，则
，
．

所以
，
，
，

故
，

所以
，

当
时，
．此时
，………………………………6分

设点
的坐标为
，由（1）知，
，则
，
，
，
．所以
，
，

∵
，　∴

．

∴
，∴
． 10分

设平面
的法向量为
，则
．

∵
，
，∴
　

取
，解得：

， 所以
．……………………………… 8分

设直线
与平面
所成的角
，

∴

．……………………………………………… 10分

又∵
∴
． ∵
，∴
．

因此直线
与平面
所成的角大于
，即结论成立．……………………………12分

19．解：（1）当
时，由
.又
与
相减得：

，故数列
是首项为1，公比为2的等比数列，所以
；…………4分

（2）设
和
两项之间插入个数后，这
个数构成的等差数列的公差为
，则

，又
，故
………………………