云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

C

C

C

D

B

A

D

C

B

A



【解析】

1．当
时，有
成立，所以
是真命题，故选C．

2．由表可知

，故
，故选B．

3．由题意知
，因此
，故选C．

4．根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线，故选C．

5．由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为
，解得
，所以当
时，焦点坐标为
；当
时，焦点坐标为
，故选C．

6．由
得
，

，故选D．

7．根据框图的流程图逐步进行计算，满足循环体结束的条件，输出的结果为
，故选B．

8．
，

，

所以
，故选A．

9．由
的一条对称轴是
，得
，即
，
，
，所以
或
，故选D．

10．由
知，为线段
的中点，设双曲线的右焦点为
，因为
，由中位线定理得
，由双曲线的定义得
，又
，则
，得
，即
，
，故选C．

11．由
得
，即
为R上的减函数，所以
，由
，得
，即
，解得
或
，又
，所以
，故
，数列
即
，其前项和为
，整理得
，解得
，故选B．

12．设AB，CD的中点分别为M，N，则球心O到AB和CD的距离是相等的，即
，当OM，ON在同一直线上，且
时，四面体ABCD的体积最大，
，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题 号

13

14

15

16



答 案



123

6





【解析】

13．由
，得

，所以此函数的对称中心为
．

14．从第3项起，每一项都是其前两项的和，从而递推出
．

15．因为
，所以
，所以
，

又
，即
，

故
．

当且仅当
时，上式等号成立，故面积的最大值为6．

16．在已知等式中，令
得
，又令
得
，再令
得
，即
，亦即
是以
为公差的等差数列，且首项也是
，所以
，从而
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得
，又
，所以
．

又由
，得
，所以
，所以
，

所以
为直角三角形，
．……………………………………（6分）

（Ⅱ）
=

所以
，

由
，得
，

所以
，所以
或
．………………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设面膜使用讲座三天都不满座为事件A，

则
．…………………………………………………（3分）

（Ⅱ）
的可能值为0，1，2，3，4，5，

；

；

；

；

；

．………………………………………………………………（8分）

列表如下：

0

1

2

3

4

5



P
















．…………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

又
，∴平面AEC⊥平面PDB．………………………………………（6分）

（Ⅱ）方法一：如图1，设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

∵O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE∥PD，且OE=
PD，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，由PD=
AB，

设
，则
，
，

∴
，于是
，

即AE与平面PDB所成角的正弦值为
．…………………………………………（12分）

方法二：如图2，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，

设
，AE与平面PDB所成的角为，

则
，
，
，
，

于是
，

所以
，

且平面
的法向量
，

所以
，

即AE与平面PDB所成角的正弦值为
．…………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
在区间
上是增函数，

∴当
时，
恒成立，

即
恒成立，所以
．

又
在区间
上是减函数，

故当
时，
恒成立，即
恒成立，所以
．

综上，
．

由
，得
，

令
，则
，

而
，所以
的图象上
处的切线与直线平行，

所以所求距离的最小值为
．………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为
，

则
，

因为当
时，
恒成立，

所以
，

因为当
时，
，所以
上是减函数，

从而
，

所以当
时，
，即
恒成立，

所以
．

因为
在
上是减函数，所以
，

从而
，即
，

故实数的取值范围是
．………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，

，

所以椭圆的方程为
，

代入D点坐标，解得
，

由此得
，

所以椭圆的方程为
．…………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

故圆的方程为
，

则由
知，点在圆上，

因为
，所以切线的斜率为
，

故所求切线的方程为
，

即
．…………………………………………………………………………（8分）

（Ⅲ）设
，假设存在点
满足题意，

则
，

点
在圆C：
上，
，

化简得
，

因为该式对任意的
恒成立，

则
解得

故存在定点
对于直线
上的点
及圆上的任意一点
使得
成立．…………………………………………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：圆与边
相切于点，

⊥
． …………………………………………………………………………（2分）

又
⊥
，

，

，，，四点共圆， ………………………………………………………（4分）

． ……………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）解：为锐角
的内心，

，
，………………………………………………（6分）

在
中，

． ……………………………………………………………………（8分）

⊥
，

在
中，
，

． ……………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）曲线M可化为
，
，

曲线N可化为
，

若曲线M，N只有一个公共点，

则当直线N过点
时满足要求，此时
，

并且向左下方平行运动直到过点
之前总是保持只有一个公共点，

当直线N过点
时，此时
，

所以
满足要求；

再接着从过点
开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，

相切时仍然只有一个公共点，

联立
得
，

，

求得
，

综上可求得t的取值范围是
或
．…………………………（5分）

（Ⅱ）当
时，直线N：
，

设M上的点为
，

则曲线M上的点到直线N的距离为
，

当
时取等号，满足
，所以所求的最小距离为
．……………（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

（Ⅰ）证明：由
，

．……………………………………（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
在
上为增函数，

，

．

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
，

综上所述，实数的取值范围为
．………………………………………………（10分）