一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1．已知
，为虚数单位，且
，则
=（ ）

A．2 B．
C．
D．

2．已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知角终边上一点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知向量
，下列结论中不正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．函数
的单调增区间与值域相同，则实数的取

值为( )

A．
B． C．
D．

6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）

A．
B．
C． D．

7．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算
”．发现

同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是 ( )

8．下列选项中正确的是（ ）

A．若
且
，则
；

B．在数列
中，“
”是“数列
为递增数列”的必要非充分条件；

C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”；

D．若命题为真命题，则其否命题为假命题；

9．已知等边
中，
分别是
的中点，以
为焦点且过
的椭圆和双曲线的离心率分别为
，则下列关于
的关系式不正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
，如果存在锐角使得
的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数
具备角的旋转性，下列函数具有角
的旋转性的是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，将全校200名教师按一学期使用多媒体进行教学的次数分成了[0，9)，[10，19)，[20，29)，[30，39)，[40，49)五层，现采用分层抽样从该校教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可知该校一学期使用多媒体进行教学的次数在
内的教师人数为 ．

12．随机地从
中任取两个数
，则事件“
”发生的概率为 .

13．若数轴上不同的两点
分别与实数
对应，则线段
的中点
与实数
对应，由此结论类比到平面得，若平面上不共线的三点
分别与二元实数对
对应，则
的重心
与 对应.

14．已知等差数列
的首项为
，公差为
，其前项和为
，若直线
与圆
的两个交点关于直线
对称，则
=

15．如图，线段
=8，点
在线段
上，且
=2，为线段
上一动点，点绕点
旋转后与点绕点旋转后重合于点.设
=，
的面积为
.则
的定义域为 ；
的零点是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛.其中一道题是连线题，要求将3种不同的消防工具与它们的用途一对一连线，规定：每连对一条得2分，连错一条扣1分，参赛者必须把消防工具与用途一对一全部连起来．

（Ⅰ）设三种消防工具分别为
，其用途分别为
，若把
连线方式表示为
，规定第一行
的顺序固定不变，请列出所有连线的情况；

（Ⅱ）求某参赛者得分为0分的概率．

17．（本小题满分12分）

已知点
是函数
图象上的任意两点，若
时，
的最小值为
，且函数
的图像经过点
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）在
中，角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45o，F为
的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

（Ⅰ）求证：OF//平面ACD；

（Ⅱ）在
上是否存在点，使得平面
平面ACD?若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分12分）

在数列
中，

（Ⅰ）求数列
的前项和
；

（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求实数的最小值.

20.（本小题满分13分）

已知直线
过定点，动点
满足
，动点
的轨迹为
.

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）直线
与
交于
两点，以
为切点分别作
的切线，两切线交于点.

①求证：
；

②若直线
与
交于
两点，求四边形
面积的最大值.

21.（本小题满分14分）

已知函数
为奇函数，且在
处取得极大值2.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）过点
(
可作函数
图像的三条切线，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若
对于任意的
恒成立，求实数的取值范围.

2013届高三模拟试卷（02）

数学(文)参考答案

所以该参赛者得0分的概率为
……………………………………12分

17.(I)由题意知
,
，又

且
，

从而
……………………………………6分

（II）

即

由
，得

,从而
取值范围为
…………………12分

18.（I）

又
为
的中点，

，又
平面

从而
//平面
……………………………………6分

(II)存在，为
中点

又
且两半圆所在平面互相垂直

平面

又
平面

,由
平面

又
平面

平面
平面ACD ……………………………………12分

19.（I）
……①

……②

由①—②得：

,当
时，也符合

……③

2
……④

又③—④得：

……………………………………6分

(II)由
得

令

单调递增，从而

因此实数的最小值为
……………………………………12分

所以，以为切点的切线方程为
，又
，

所以，以为切点的切线方程为
……（1）

同理，以
为切点的切线方程为
……（2）

（2）-（1）并据
得点的横坐标
，

代入（1）易得点的纵坐标
，所以点的坐标为

当
时，显然

当
时，
，从而
……………………………………8分

②由已知，显然直线
的斜率不为0，由①知
，所以
，

则直线
的方程为
，

设设
，
，

由
消去，得
，显然
，

所以
，
.

又

因为
，所以
，

所以，
，

当且仅当
时，四边形
面积的取到最小值
……………………………13分

21．（I）
为奇函数

在
处取得极大值2

从而
解析式为
……………………………………4分

（2）设切点为
，则

消去
得

设
，则

在
递减，
递增

，
=