河南省郑州市智林学校2013届高三4月模拟考试

数学试题（文理合卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

第Ⅰ卷

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

一、选择题

1．已知集合
，则
= （ ）

A．（0，
） B．[
，1] C．
D．

2．已知向量a、b均为单位向量，若它们的夹角
，则|a+3b|等于 （ ）

A．
B．
C．
D．4

3．已知四棱锥P—ABCD的三视图如右图所示，则四棱锥P—ABCD的体积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

4．二项式
的展开式中
的系数为10，则实数m等于（ ）

A．-1 B．
C．2 D．1

5．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式是 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．阅读下列程序，输出结果为2的是 （ ）

7．各项均为正数的等比数列{
}的公比q≠1，且a2，
a3，a1成等差数列，则
的值是

A．
B．
C．
D．
或

8．已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程2x2＋px－1＝0的两根，则θ等于

A．
B．
C．
D．

9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2．若二面角C－AB－C1的大小为60°，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

10．（理）设函数
在点
处连续，则

A.
B．
C．
D．

（文）已知
是等差数列，
，
，则该数列前10项和
等于

A．64 B．100 C．110 D．120

11．设函数y＝xsinx＋cosx的图像上的点（x0，y0）的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数k＝g（x0）的图像大致为

12．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生，得到学生视力频率分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频率成等差数列．设最大频率为a；视力在4．6到5．0之间的学生人数为b，则a、b的值分别为

A．0.27，78 B．0.27，83

C．2.7，78 D．2.7，83[

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．（理）若n∈N*，n < 100，且二项式
的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n值的和是________．

（文）在
的展开式中常数项是_________．

14．与直线x+2y+3=0垂直，且与抛物线y = x2 相切的直线方程是 .. ．

15．已知向量
，且
，
∥
，则
。

16．若x≥0，y≥0，且
，则
的最小值是 。

三、解答题：（本大题6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题满分10分） 设命题
函数
是
上的减函数，命题
函数
,
的值域为
，若“
且
”为假命题，“
或
”为真命题，求实数
的取值范围．

18．（本题满分12分） 已知
是定义在
上的增函数，且对任意的
都满足
.

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）若
，证明
；

（Ⅲ）若
，解不等式
.

19．（本题满分12分） 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球， 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）（理）设
为取出的4个球中红球的个数，求
的分布列和数学期望．

20、已知
是实数，函数
。

（Ⅰ）若
，求
的值及曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值。

（理科）已知函数f(x)=ln(1+x)－
.

(1)求f(x)的极小值; (2)若a、b>0,求证:lna－lnb≥1－
.

21、已知点列
在直线
上，P1为直线
轴的交点，等差数列
的公差为1
。

（1）求
、
的通项公式；；

（2）若
，试证数列
为等比数列，并求
的通项公式。

理科做：（3）
．

22．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝（1＋x）2－4a lnx（a∈N﹡）．

（Ⅰ）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）＝x2－x＋b在区间[1，e]上恰有一个实根，求实数b的取值范围．

 参考答案

一、选择题

CABCB A BCD C (理)B（文） AA

二、填空题

13．（理）950

提示：Tr + 1 =

令3n – 5r = 0，得

再令r = 3k，k∈N*，∴n = 5k < 100

∴1≤k≤19，k∈N*

∴所有满足条件的n值的和是5 + 10 + 15 + … + 95 =
× 19 = 950．

（文）7

14．
15．13、令
，则由题得：
，解得
；

16．

三、解答题：本大题共6个小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：命题
真
……………………2分

∵
，画图象可知：

命题
真
……………………4分

且
为假，
或
为真,

、
一真一假 ………6分

若
真
假得，
, 若
假
真得，
． ………9分

综上所述，
的取值范围是
或
． ……10分

18．解：（Ⅰ）在已知等式中，令
得
. …3分

（Ⅱ）对任意的
，据已知条件有
，

即
，
. ……………6分

（Ⅲ）因为
的定义域是
，
，

由（Ⅱ）的结论可知

所以不等式
可化为
， ……9分

又因为函数在
上是增函数，上式又可化为
，

即
，解得
，

所以，原不等式的解集为
. ……………12分

19. 解： (Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件
，

“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．

由于事件
相互独立，且
，
． ……2分

故取出的4个球均为黑球的概率为
．…4分

(Ⅱ) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件
．则

，
． ………………………6分

由于事件
互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

． ……………………………8分

（Ⅲ）
可能的取值为
．

由（Ⅰ），（Ⅱ）得
，
，
．

从而
．

的分布列为：

0

1

2

3

















…………10分

的数学期望
． ………… 12分

20、文科：（１）解：
，

因为
，

所以
．

又当
时，
，
，

所以曲线
在
处的切线方程为
．

（２）解：令
，解得
，
．

当
，即
时，
在
上单调递增，从而

．

当
，即
时，
在
上单调递减，从而

．

当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，从而

综上所述，

理科：解: (1) f(x)=ln(1+x)－
,求导数得

f′(x)=
,而f(x)的定义域x>－1,在x>0时,f′(x)>0;在－1

∴在x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0. 6分

(2)证明:在x=0时,f(x)取得极小值,而且是最小值,于是f(x)≥f(0)=0,从而ln(1+x)≥
在x>－1时恒成立.

令1+x=
>0,则
=1－
=1－
,

于是lna－lnb=ln
≥1－
,

因此lna－lnb≥1－
在a>0,b>0时成立. 12分

21．解：（1）
在直线

∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1）
，

又数列
的公差为1

（2）

是以2为公比，4为首项的等比数列．

（3）

22.解：⑴由题意，函数
的定义域为

由

知
对
恒成立，记

由于函数
在
上是增函数，故
,所以

又
，所以
为所求． 5分

⑵由题知
，整理得

记
，则

注意到
，故函数
在
上单调递减，在
上单调递增．

由
知，

所以关于
的方程
在区间
上恰有一个实根时

或
为所求．