2013届江西省吉安县二中高三三月月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1．设集合
( )

A．
B．
C.
D．

2．已知命题
“
”，命题
“
”，若命题
均是真命题，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

4. 设数列
是等差数列，且
，则这个数列的前5项和
=（ ）

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

5．设
，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

6．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印 的点落在坐标轴上的个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

7．与向量
=（
，1），
=（1，
）的夹角相等且模为
的向量为 （ ）

A．
B。

C．
D。

8．函数
的定义域为R，且定义如下：
（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足
，则函数
的值域为 （ ） A．
B．
C．
D．

9．函数
在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （ ）

10．定义在（—，0）（0，+）上的函数
，如果对于任意给定的等比数列{
}，{
）仍是等比数列，则称
为“保等比数列函数”．现有定义在（—，0）（0，+）上的如下函数：①
=
：②
；③；④
．则其中是“保等比数列函数”的
的序号为（ ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.



12. 已知
则
的值为 .

13.在△
中，已知
,
,则△
的面积为 。

14. 已知x和y是实数，且满足约束条件
的最小值是 .

15．已知函数
，其导函数记为
，则

.

三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分） 已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

17. （本小题满分12分） 已知
的角A、B、C所对的边分别是
，

设向量
,
,

（Ⅰ）若
∥
，求证：
为等腰三角形；

（Ⅱ）若
⊥
，边长
，
，求
的面积.

18. （本小题满分12分）

已知
且
；

：集合
，且
．

若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.

19. （本小题满分12分）

如图：在三棱锥D-ABC中，已知
是正三角形，AB平面BCD，
，E为BC的中点，F在棱AC上，且

（1）求三棱锥D－ABC的表面积；

（2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

20. （本小题满分13分）

在数列
中，已知
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅲ)设数列
满足
，求
的前n项和
.

21. （本小题满分14分）

已知函数
，其中ｅ是自然数的底数，
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，求正整数ｋ的值，使方程
在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若
在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

数学试卷（文）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





B

[来源:学,科,网]

C



A



D



B



B



C



B



C



C



二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.----------------40/3---------------------- ; 12.---------- -----------3-------------------------;

13.----------------
---------------------; 14.----------------- --23/2------------------------;

15.--------2-- -------------------。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）

∴函数
的最小正周期
． …………………6分

（Ⅱ）∵
，
，

∴
…………………9分

∴

∴
在区间
上的最大值为
，最小值为0． ……………12分

17. （本小题满分12分）

已知
的角A、B、C所对的边分别是
，设向量
,
,

（Ⅰ）若
∥
，求证：
为等腰三角形；

（Ⅱ）若
⊥
，边长
，
，求
的面积.

证明：(Ⅰ) ∵
∥
， ∴
，由正弦定理可知，

，其中R是
外接圆的半径，

∴
.

因此，
为等腰三角形. …………………6分

（Ⅱ）由题意可知，
，即

由余弦定理可知，
即

，(
舍去)

∴
. …………………12分

18．（本小题满分12分）已知
且
；

：集合
，且
．

若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.

解答：若
成立，则
，

即当
时是真命题； ……………………4分

若
，则方程
有实数根，

由
，解得
，或
，

即当
，或
时是真命题； ……………………8分

由于∨为真命题，∧为假命题，∴与一真一假，

故知所求的取值范围是
． ……………………12分

19. （本小题满分12分）

如图：在三棱锥D-ABC中，已知
是正三角形，AB平面BCD，
，E为BC的中点，F在棱AC上，且

（1）求三棱锥D－ABC的表面积；

（2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝
．

设G为CD的中点，则CG＝
，AG＝
．

∴
，
，
．

三棱锥D－ABC的表面积为
．……………..4分

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF． …..8分

（3）存在这样的点N，当CN＝
时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝
CM．

∴当CF＝
CN时，MN∥OF．∴CN＝
……….12分

20. （本小题满分13分）在数列
中，已知
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅲ)设数列
满足
，求
的前n项和
.

解：（Ⅰ）∵

∴数列｛
｝是首项为
，公比为
的等比数列，

∴
.…………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）∵
…………………………………………………………………… 4分

∴
.…………………………………………………………… 5分

∴
，公差d=3

∴数列
是首项
，公差
的等差数列.…………………………………………7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
，
（n
）

∴
.………………………………………………………………8分

∴
， ①

于是
②

…………………………………………………………………………………………… 9分

两式①-②相减得

=
.………………………………………………………………………11分

∴
.………………………………………………………13分.

21. （本小题满分14分）已知函数
，其中ｅ是自然数的底数，
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，求正整数ｋ的值，使方程
在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若
在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

解 ⑴因为
，所以不等式
即为
，

又因为
，所以不等式可化为
，

所以不等式
的解集为
．…………………………4分

⑵当
时, 方程即为
，由于
，所以
不是方程的解，

所以原方程等价于
，令
，

因为
对于

恒成立，

所以
在
内是单调增函数，……………………………6分又
，
， ，

所以方程
有且只有1个实数根， 在区间
，

所以整数的值为 1．……………………………………………9分

⑶
，

当
时，
，
在
上恒成立，当且仅当
时

取等号，故
符合要求；………………………………………………………11分

②当
时，令
，因为
，

所以
有两个不相等的实数根
，
，不妨设
，

因此
有极大值又有极小值．

若
，因为
，所以
在
内有极值点，

故
在
上不单调．………………………………………………………12分

若
，可知
，

因为
的图象开口向下，要使
在
上单调，因为
，

必须满足
即
所以
.--------------------------13分

综上可知，的取值范围是
．………………………………………14分