商丘市2013年高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

ABDD BBCA ACCD

二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）80; （14）
; （15）
; （16）
.

三、解答题

（17）解（Ⅰ）
.………………………………………………………………2分

由正弦定理得
. ……………………………………………… 4分

.………………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
的面积
，

.…………………………………………………………………………………8分

由余弦定理
，………………………………………………………………9分

得4=
,即
.……………………………………………10分

∴
，………………………………………………………………11分

∴
.………………………………………………………………………………………12分

（18）解：(Ⅰ)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为

×
人．……………………………………………………2分

设
名学生的平均成绩为，

则＝（
＋
＋
＋
＋
＋
）
分．…………………………………………5分

(Ⅱ)设学生甲每道题答对的概率为，则
，

∴
…………………………………………………………………………………………………6分

学生甲答题个数
的可能值为
…………………………………………………………………7分

则
；

，

所以
服从分布列





















………………………………………………………………………………………………………10分

………………………………………………………………12分

（19）（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)
……………………………………1分

,
………………………………………………………………2分

①

，

，
，…………………………3分

②……………………………………………………………………………………………4分

由①②可知，

……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,
,

，

由（Ⅰ）知
，

，

是二面角
的平面角.……………………………………………………………9分

由（Ⅰ）知
,
，

，即二面角
的余弦值为
.…………………………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)依题意知，点是线段
的中点，且
，

∴
是线段
的垂直平分线……………………………………………………………………1分

．

故动点
的轨迹
是以为焦点，
为准线的抛物线，其方程为：

．………………………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）设
，两切点为
，
，

由
得
，求导得
．

∴两条切线方程为
①

② ……………………………………………………4分

对于方程①，代入点
得，
，又
,

∴
,整理得：
.

同理对方程②

即
为方程
的两根.

∴
③ ………………………………………………………………6分

设直线
的斜率为
，
,

直线
的方程为
，展开得：

，代入③得：
,

∴直线恒过定点
.…………………………………………………………………………………8分

(Ⅲ)证明：由（Ⅱ）的结论，设
，
，
且有
，

∴
…………………………………………………………… 9分

∴
…………11分

又∵
，∴
，

即直线
的斜率倒数成等差数列. ……………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）函数
，

，
，………………………………………………………2分

又
，函数
在点
处的切线方程为
． …………………………3分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
．

，

当
时，总有
在上是增函数，………………………………………………4分

又
，不等式
的解集为
，

故函数
的单调增区间为
．………………………………………………………………6分

（Ⅲ）因为存在
，使得
成立，

而当
时，
，

只要
即可．……………………………………………………………7分

又因为变化时，
，
的变化情况如下表所示：





















减函数

极小值

增函数




在
上是减函数，在
上是增函数，

当
时，
的最小值
，
的最大值
为
和
中的最大值．……………………………………………………………………………………………8分

，

令
，
，

在
上是增函数．而
，

故当
时，
，即
；

当
时，
，即
．………………………………………………………10分

①当
时，
，即
，

函数
在
上是增函数，解得
；

②当
时，
，即
，

函数
在
上是减函数，解得
．

综上可知，所求的取值范围为
………………………………………………12分

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

（Ⅰ）证明：∵
，∴
.

∵在正△
中，
，∴
，

又
，
，

∴△BAD≌△CBE， …………………………………………………………………………………3分

∴
，即
，

所以，，，四点共圆. ……………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解：如图，取
的中点，连结
，则
.

∵
，∴
，

∵
，
，

∴△
为正三角形，

∴
，即
，……………………………………………………8分

点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为
.

由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为
. ……………10分

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）直线
的参数方程是，
（为参数）, …………………………………2分

圆心
直角坐标为
, 圆
的直角坐标方程为
,……………………………3分

由
,代入直角坐标方程，可得圆
的极坐标方程是
.……………………5分

(Ⅱ）圆心的直角坐标是
，直线
的普通方程是
，……………………6分

圆心到直线的距离
，…………………………………………8分

所以直线
和圆
相离. ……………………………………………………………………………10分

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

又

即
.……………………………………………………………8分

解得
. ………………………………………………………………………………10分