2013年高三模拟考试

数学理科（SY )

(时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.

2. 回答第I卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题,共60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.

1.复数z=1-i,则
对应的点所在的象限为

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 若集合
，
，则
所含的元素个数为

A. O B. 1 C. 2 D. 3

3. 设随机变量
服从正态分布
.若P(
<2)=0.8，则p(0<
<1)的值为

A. 0.2 B. 0.3 C.?0.4 D. 0.6

4 已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x4y=0,则 该双曲线的标准方程为

A.
B.

C.
D.

5. 执行右面的程序框图，输出的S值为

A. 1 B. 9 C. 17 D. 20

6. 已知等比数列{an}，且
，则a6(a3+2a6+a10))的值为

A. π2 B. 4 C. π D.-9π

7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为

A. 0.852 B. 0.8192 C O.8 D. 0.75

8. 巳知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,
)是 使得z=ax-y取得最大值的最优解,则实数a的取值范围为

A.
B.
C.
D.

9. 若函数
满足f(1)=0,则

A.f(x-2)—定是奇函数 B.f(x+1)—定是偶函数

C. f(x+3)一定是偶函数 D, f(x-3)一定是奇函数

10. 已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所 示,则此三棱锥的外接球的表面积为

A 4π B, 12π

C.
D.

11. 已知数列{an}
…，依它的10项的规律，则a99+a100 的值为

A
B
. C.
D.
-

12. 已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为
，当
时，
，若
,则下列关于a,b,c的大小关系正确的是

A. a>b>c B, a>c>b C. c>b>a D. b>a>c

第II卷(非选择题,共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空題,本大通共4小题,每小题5分,共20分.

13.过点(2,3)与圆(x-1) 2+y2=1相切的直线方程为_____.

14. 如图,正方形ABCD中,EF//AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD=1：1：
,则AF与CE所成的角的余弦值为______.

15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答）

16.在ΔABC中，
=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且
（x,y∈R)，则x+y的取值范围为 _____

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）

如图，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸（不知 道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两 座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF，用 卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：
,
，
,
,
请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果.

18.(本小题满分12分）

为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：

表l:男生上网时间与频数分布表

表2:女生上网时间与频数分布表

(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；

(II)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？

表3:
?

附：

19. (本小题满分i2分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,
，
,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O点.

(I)求证：平面PBD丄平面PAC

(II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是ΔPBD的重心时，求二面角B-PD-G的余弦值.

20. (本小题满分12分）

椭圆
的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.

(I)若ΔABF2为正三角形，求椭圆的离心率；

(II)若椭圆的离心率满足
,0为坐标原点，求证:OA2+OB2

21 (本小题满分12分）

设函数f(x )=x2+aln(x+1)

(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且x1

请考生在22?24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分)选修4-l:几何证明选讲

如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆 O于点A,B,C,D弦AD和BC交于Q点，割线PEF经过Q点交圆 O于点E、F，点M在EF上，且
:

(I)求证:PA·PB=PM·PQ

(II)求证：

23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系.x0y中，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为:

(I)求曲线l的直角坐标方程；

(II)若直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C相交于A、B两点求|AB|的值

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).

(I)当a=1时，解不等式f(x)>3;

(II)不等式
在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围

2013年高中毕业班第一次模拟考试

数学理科答案

一、选择题

A卷答案

1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 AD

B卷答案

1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD

二、填空题

13 .
或
14 .

15 . 24 16 .

三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)

17.解：第一步：在
中，利用正弦定理，
，

解得
；……………4分

第二步：在
中，同理可得
；……………8分

第三步：在
中，利用余弦定理，

…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分）

18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分

故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为

……………4分

………………6分

（Ⅱ）

上网时间少于60分

上网时间不少于60分

合计



男生

60

40

100



女生

70

30

100



合计

130

70

200



……………8分

，………………10分

∵

∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分

19. 解：（Ⅰ）依题意
，
，
，所以
，……2分

而
面
，
，又
，∴
面
，

又
面
，∴平面
平面
…………4分

（Ⅱ）

过作
的垂线为轴，
为轴，
为轴，建立如图所示坐标系，则
，
，
,设
，

所以
，
，

由
，得

解得
，
.………………6分

∴P点的坐标为
；

面
的一个法向量为
，……………8分

设面
的一个法向量为
，
，

即
，∴
………………10分

，

所以二面角
的余弦值为
．……………12分

20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知
，又
，∴
，即
为边
上的中线，

∴
,……………………2分

在
中，
则
，

∴椭圆的离心率
．…………………4分（注：若学生只写椭圆的离心率
，没有过程扣3分）

（Ⅱ）设
，
因为
，
，所以
…………6分

①当直线
轴垂直时，
，
，
,

=
， 因为
，所以
，

恒为钝角，

.………………………8分

②当直线
不与轴垂直时，设直线
的方程为：
，代入
，

整理得：
，

，

………………10分

令
， 由 ①可知
，

恒为钝角.，所以恒有
．………………12分

21. 解：（Ⅰ）
在区间
上恒成立，

即
区间
上恒成立， …………………1分

.………………3分

经检验， 当a＝- 4时，
，
时，
，

所以满足题意的a的取值范围为
.………………4分

（Ⅱ）函数的定义域
，
，依题意方程
在区间
有两个不等的实根，记
，则有
，

得
.……………………6分

，
，
，

，令

……………………8分

，
，
,

因为
，存在
，使得
，











-

0

+





，
，
，所以函数
在
为减函数，

…………………10分

即
……………………12分

法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.

【证法2】
为方程
的解，所以
,

∵
，
，
，∴
,

先证
，即证
（
）,

在区间
内，
，
内
，所以
为极小值，
,

即
，∴
成立；…………………8分

再证
，即证
,

,

令
，
…………………10分

,

,

，
，
,

∴
，
在
为增函数．

．

综上可得
成立．………………………12分

22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD＝∠BMF，

所以A,Q,M,B四点共圆，……………3分

所以
.………………5分

(Ⅱ)∵
,

∴
，

又
, 所以
，……………7分

∴
,则
,………………8分

∵
，

∴
,

,

所以
.…………………10分

23.解：(Ⅰ)依题意
………………3分

得：

曲线
直角坐标方程为：
.…………………5分

(Ⅱ)把
代入
整理得：

………………7分

总成立，

，

………………10分

另解：

(Ⅱ)直线
的直角坐标方程为
，把
代入
得：

………………7分

总成立，
，

…………………10分

24. 解：(Ⅰ)
解得

解得

解得
…………………3分

不等式的解集为
………………5分

(Ⅱ)

；

；

；

的最小值为
；………………8分

则
，解得
或
.………………10分