江苏省盐城市2013届高三3月第二次模拟考试

数学试卷

（总分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

⒈若集合
，且
，则实数的值为 。

⒉若复数满足
（为虚数单位），则
。

⒊现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。

⒋已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。

⒌若
，
是两个单位向量，
，
，且
⊥
，则
，
的夹角为 。

⒍如图，该程序运行后输出的结果为 。

⒎函数
，
的单调递增区间为 。

⒏若等比数列
满足
且
（
且
），则
的值为 。

⒐过点
且与直线
：
和
：
都相切的所有圆的半径之和为 。

⒑设函数
满足对任意的
，
且
。已知当
时，有
，则
的值为 。

⒒椭圆
（
）的左焦点为F，直线
与椭圆相交于A，B两点，若
的周长最大时，
的面积为
，则椭圆的离心率为 。

⒓定义运算
，则关于非零实数的不等式
的解集为 。

⒔若点G为
的重心，且AG⊥BG，则
的最大值为 。

⒕若实数、
、、
满足
，则
的最小值为 。

二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

⒖（本小题满分14分）已知函数
。

⑴求
的最小正周期；

⑵求
在区间
上的最大值和最小值及取得最值时的值。

⒗（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点。

⑴求证：PA∥平面BDE；

⑵求证：平面PBC⊥平面PDC。

⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠
，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。

⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；

⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？

⒙（本小题满分16分）如图，圆O与离心率为
的椭圆T：
（
）相切于点M
。

⑴求椭圆T与圆O的方程；

⑵过点M引两条互相垂直的两直线
、
与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。

①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为
、
，求
的最大值；

②若
，求
与
的方程。

⒚（本小题满分16分）设函数
（
，
）。

⑴若
，求
在
上的最大值和最小值；

⑵若对任意
，都有
，求的取值范围；

⑶若
在
上的最大值为
，求
的值。

⒛（本小题满分16分）设
是各项均为非零实数的数列
的前项和，给出如下两个命题上：

命题：
是等差数列；命题：等式
对任意（
）恒成立，其中
是常数。

⑴若是的充分条件，求
的值；

⑵对于⑴中的
与
，问是否为的必要条件，请说明理由；

⑶若为真命题，对于给定的正整数（
）和正数M，数列
满足条件
，试求
的最大值。

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试

数学附加部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。

A．（选修4－1：几何证明选讲）

如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D。求证：CD⊥AE。

B．（选修4－2：矩阵与变换）

求曲线
在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中

，

。

C．（选修4－4：坐标系与参数方程）

已知圆C的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
，求直线截圆C所得的弦长。

D．（选修4－5：不等式选讲）

若
，证明

[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。

22．（本小题满分10分）

正三棱柱
的所有棱长都为4，D为的
中点。

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值。

23．（本小题满分10分）

已知数列
满足
，
。

（1）证明：
（
）；

（2）证明：
。

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1. 4 2.
3.
4.
5.
6. 16 7.
8.16

9. 42 10.
11.
12.
13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（Ⅰ）

……………………………………2分

…………………………………………………………4分

所以
………………………………………………7分

（Ⅱ）因为
，所以
…………………………9分

所以
，所以
，当
即
时，
，

当
即
时，
，…………………………14分

16.证明(1)连接
交
于
,连接

∵四边形
是菱形, ∴
是
中点, ……………………………2分

又为
中点.∴
∥
…………………………………………4分

又
,
∴
∥平面
……………………………7分

(2)在△
中,易得
∴
,∴
………9分

∴在△
中可求得
,同理在△
中可求得

∴在△
中可得
,即
⊥
………………………11分

又
,为
中点, ∴
⊥
…………………………12分

⊥面
,又
面
∴平面
平面
……………………14分

17．解: (1)由题在
中，
．

由正弦定理知
，得
……………3分

……………………………………………………………………7分

(2)
，令
，得
………………………………10分

当
时，
；当
时，
，当
时
取得最小值………………12分

此时
，

中转站距处
千米时，运输成本
最小…………………………14分

18．解: (1)由题意知:
解得
可知:

椭圆
的方程为
与圆
的方程
……………………………4分

(2)设
因为
⊥
,则
因为

所以
,……………………………7分

因为
所以当
时
取得最大值为
，此时点
…………9分

(3)设
的方程为
,由
解得
；

由
解得
…………………………11分

把
中的
置换成
可得
，
………………12分

所以
，

，

由
得
解得
……………………15分

所以
的方程为
，
的方程为

或
的方程为
，
的方程为
………………………16分

19．解(1)

………………………………… 2分

∴在
内,
，在

∴在
内,
为增函数，在
内
为减函数

∴函数
的最大值为
，最小值为
………………………………4分

（2）∵对任意
有
，∴

从而有
∴
……………………………6分

又
∴
在
内为减函数，
在
内为增函数,只需
，则

∴的取值范围是
…………………………10分

（3）由
知
①
②，

①加②得
又∵
∴
∴
…………………14分

将
代入①②得
∴
………………………………………16分

20．解：（1）设
的公差为
，则原等式可化为

所以
，

即
对于
恒成立，所以
…………………………………………………4分

（2）当
时，假设是否为的必要条件，即“若
①对于任意的
恒成立，则
为等差数列”.

当
时，
显然成立.……………………………………………6分

当
时，
②，由①-②得，

，即
③.

当
时，
，即
、