河南省普通高中

2013年新课程高考适应性考试（一）

数学（理）试题

本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={
}，下图中阴影部分所表示的集合为

A．{0，1，2} B．{1，2}

C．{1} C．{0，1}

2．复数
，在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第二象限 D．第四象限

3．若
，则tan
=

A．
B．
C．
D．

4．已知命题
使得
命题
，下列命题为真的是

A．p
q B．（
C．

D．

5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．
B．
C．
D．

6．已知△ABC中，C=45°，则sin2A=sin2B一
sinAsinB=

A．
B．
C．
D．

7．如图是计算函数
的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是

A．y=ln（一x），y=0，y=2x

B．y=0，y=2x，y=In（一x）

C．y=ln（一x），y=2z，y=0

D．y=0，y=ln（一x），y=2x

8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足

（a-c）·（b一c）=0，则|c|的最大值是

A．1 B．

C．2 D．

9．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为

A．16
B．24
C．32

D．48

10．在二项式（
的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为

A．18 B．12 C．9 D．6

11．已知函数
，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有
成立，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

12．过双曲线
的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22～24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数
的最大值是 。

14．已知圆
过坐标原点，则圆心C到直线
距离的最小值等于 ．

15．已知函数
上的奇函数，且
的图象关于直线x=1对称，当
时，
．

16．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则

点M恰好取自阴影部分的概率是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列{
}中

（I）设
，求证数列{
}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{
}的通项公式．

18．（本小题满分12分）

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．

(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；

(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，记[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图。在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。

（I）求证：A1B∥平面AMC1；

（II）求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问：在棱A1B1上是否存在点N，使AN与MC1成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为
左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求
的解析式及减区间；

（2）若
的最小值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

在
ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心。

（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；

（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为

（I）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求
的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
=

（I）求函数
的最小值m；

（II）若不等式
恒成立，求实数a的取值范围．

2013年河南省新课程高考适应性考试（一）

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

A

A

B

B

D

D

C

B

C



二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）递推公式可化为
，即
. …………3分

又
，

所以数列
是首项为3，公比为
的等比数列. ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，所以
……………7分

……………12分

（18）解：（Ⅰ）设分数在
内的频率为x，根据频率分布直方图，

则有
，可得x=0.3.

所以频率分布直方图如图所示：

……………4分

（Ⅱ）平均分为：

………………6分

（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，

且X的可能取值是0，1，2．

则
，
，
．

所以X的分布列为：

X

0

1

2



P











所以EX＝0×
＋1×
＋2×
＝
． ……………12分

（19）解：（Ⅰ）连接
交
于
,连接
.在三角形
中，

是三角形
的中位线，

所以
∥
,

又因
平面
，

所以
∥平面
. ……………4分

（Ⅱ）（法一）设直线
与平面
所成角为
，

点到平面
的距离为

，不妨设
，则
，

因为
,
，

所以
. ……………5分

因为
，

所以
,
.

.

，

，
. ……………8分

（法二）如图以
所在的直线为
轴, 以
所在

的直线为
轴, 以
所在的直线为
轴，

以
的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则
,
,
,
，
,
,
.设直线
与平面
所成角为
，平面
的法向量为
.则有
,
,
，

令
,得
，

设直线
与平面
所成角为
，

则
. ……………8分

（Ⅲ）假设直线
上存在点
，使
与
成角为
.

设
，则
，
.

设其夹角为
，

所以，

，

，

或
（舍去），

故
.所以在棱
上存在棱
的中点
，使
与
成角
. 12分

（20）解：（Ⅰ）在
中,设
,
,由余弦定理得
，

即
，即
，得
.

又因为
，
，
，

又因为
所以
，

所以所求椭圆的方程为
. ……………5分

（Ⅱ）显然直线
的斜率
存在，设直线方程为
，
，

由
得
，即
，

，

，

由
得，
，又
，
，

则
，
，

，

那么
，

则直线
过定点
. ……………10分

因为
，
，

，
，

，
，

，所以
或
. ……………12分

（21）解：（Ⅰ）令
得
，
，所以
，

， ……………3分

，

由
得
，

的减区间为（
）. ……5分

（Ⅱ）由题意