2013年哈师大附中第二次高考模拟考试

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
,则集合为

A．[0,3)

B．[1,3)

C．(1,3)

D．(-3,1]



2．已知为虚数单位，且
则实数的值为

A．1

B．2

C．1或-1

D．2或-2



3．双曲线
的渐进线方程为

A．

B．

C．

D．



4．以下有关线性回归分析的说法不正确的是

A．通过最小二乘法得到的线性回归直线过样本点的中心

B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使
最小的a、b的值

C．相关系数r越小，表示两个变量相关性越弱

D．
与接近1．表示回归的效果越好

5．直角坐标系中坐标原点O关于直线l:
的对称点为A（1,1），则
的值为

A．

B．

C．

D．



6．已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中不恒成立的是

A．

B．



C．

D．



7．若Sn是等比数列{an}的前n项和，a2 a4= a3, S3 = 7则数列{an}的公比q的值为

A．

B．
或

C．
或

D．



8．三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为
的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与各三棱柱ABC-A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为

A．

B．

C．1

D．



9．下列判断中正确的是

A．命题“若
，则
”是真命题

B．“
”的必要不充分条件是“
”

C．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
则
”

D．命题“
”的否定式“
”

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．

B．



C．

D．



11．已知圆M过定点（2,0），且圆心M在
抛物

线上运动，若y轴截圆M所得弦为AB，则弦长|AB|等于

A．4

B．3



C．2

D．与点M位置有关



12．当
时，函数
的图像大致是

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据需求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若动点P（m，n）在不等式组

表示的平面区域内及其边界上运动，则
的取值范围是__________。

14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。

15．已知数列{an}满足
点Ai（i，ai）在x轴上的射影为点Bi
若
，则Sn=__________。

16．已知实数
，函数
，则
，则a的值为_________。

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数
的图象可有函数
的图象向左平移
个单位得到。

（1）求函数
的的解析式和最小正周期；

（2）在中
，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
，求
得值；

18．（本小题满分12分）

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

19．（本小题满分12分）

已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE =
，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。

（1）求证：MN⊥EA；

（2）求四棱锥M – ADNP的体积。

20．（本小题满分12分）

设椭圆C：
的两个焦点为F1、F2，点B1为其短轴的一个端点，满足
，
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M
做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B，l2与椭圆交于点C、D，求的最小值。

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
。

（1）若对任意的实数a，函数
与
的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；

（2）若a > 0，对任意x > 0不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：集合证明选讲

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。

（1）求证：CE2 = CD · CB；

（2）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，已知点P
，曲线C的参数方程为
（φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
。

（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求
的值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设函数
。

（1）求不等式
的解集；

（2）若存在x使不等式
成立，求实数a的取值范围。

2013年三省三校第二次联合考试文科数学答案

一．选择题（每小题5分，共60分）

　1．B　　　2．D　　　3．A　　　4．C　　　5．B　　　6．A

　7．C　　　8．C　　　9．D　　　10．B　　11．A　　　12．B

二．填空题（每小题5分，共20分）

13.
　　　14.
　　　15. 7　　　16.

三．解答题

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由条件，
……2分

所以， 函数
的最小正周期为
……4分

（Ⅱ）由
得
，
……8分

，
, ……10分

……12分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
，由甲图知，甲组有
（人），∴乙组有20人．

又∵
，∴甲组有1人、乙组有
人符合要求，

（人），即估计1000名学生中保持率大于等于60%的人数为180人．……4分

（Ⅱ）乙组准确回忆音节数在
范围内的学生有
=1人，记为，
范围内的学生有
人，记为
,
范围内的学生有2人，记为

从这五人中随机选两人，共有10种等可能的结果：

记“两人均能准确记忆12个（含12个）以上”为事件, 则事件包括6种可能结果：

故
,即两人均准确回忆12个（含12个）以上的概率为
……10分

（Ⅲ）甲组学生准确回忆音节数共有：
个

故甲组学生的平均保持率为

乙组学生准确回忆音节数共有：

故乙组学生平均保持率为

所以从本次实验结果来看，乙组临睡前背单词记忆效果更好. ……12分

（回答
等，也可给分）

19.（本小题满分12分）

解： （Ⅰ）

……2分

又
平面
，
平面
，

为
的中点，为
的中点，

，
……4分

又
平面

……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,且

,
,
,

,

……8分

，
,

又

为直角梯形 ……10分

，
,

四棱锥
的体积
……12分

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）不妨设

……1分

……3分

所以椭圆方程为
……4分

（Ⅱ）①当直线
与轴重合时，

设
，则
……5分

②当直线
不与轴重合时，设其方程为
，设

由
得

……6分

由
与
垂直知：

……10分

当且仅当
取到“=”.

综合①②,

……12分

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

由题设知
，且
，即
， ……2分

因为上式对任意实数恒成立，
……4分

故，所求
……5分

（Ⅱ）
即
，

方法一：在
时
恒成立，则在
处必成立，即
，

故
是不等式
恒成立的必要条件. ……7分

另一方面，当
时，记
则在
上，

……9分

时
，
单调递减；
时
，
单调递增

，
，即
恒成立

故
是不等式
恒成立的充分条件. ……11分

综上，实数的取值范围是
……12分

方法二：记
则在
上，

……7分

若
，
，
时，
，
单调递增，
，

这与
上
矛盾； ……8分

若
，
，
上
递增，而
，

这与
上
矛盾；……9分

③若
，
，
时
，
单调递减；
时
，
单调递增

，即
恒成立 ……11分

综上，实数的取值范围是
……12分

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

(Ⅰ)证明：连接BE.

∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°

∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB＝90° ……2分

∴∠DBE＋∠OBE＝90°,∠AEO＋∠OEB＝90°

∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB　∴∠DBE＝∠AEO ……4分

∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE,

∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE ，

∴
∴CE
＝CD·CB ……6分

(Ⅱ)∵OB＝1,BC＝2 ，∴OC＝
， ∴CE＝OC－OE＝
－1 ……8分

由(Ⅰ)CE
＝CD?CB得(
－1)
＝2CD，∴CD＝3－
……10分

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：(Ⅰ)直线
，即
，

直线
的直角坐标方程为
，

点
在直线
上. ……5分

(Ⅱ)直线
的参数方程为
（为参数），曲线C的直角坐标方程为

将直线
的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，

有
，
，设方程的两根为
，

……10分

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：(Ⅰ)原不等式等价于

当
时，
，解得
不存在；

当
时，
，解得
；

当
时，
，解得
.

综上，不等式的解集为
……5分

(Ⅱ) 方法一：由函数
与函数
的图象可知，

当且仅当
时，函数
与函数
的图象有交点，

故存在使不等式
成立时，的取值范围是
……10分

方法二：
即
，

（ⅰ）当
，
，

若
，则
，
满足条件；

若
，则
,由
解得：
.

……7分

（ⅱ）当
时，
，

若
，则在
时就有
，
满足条件；

若
，则
，
不满足条件；

若
，则
，由
，解得
.

. ……9分

综上，
.

即的取值范围是
……10分