河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试

理科数学

2013.3

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题-24题为选 考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号，非 选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁,不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

第I卷（60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1.设a∈R,i是虚数单位，则当
是纯虚数时，实数a为

A.
B. - 1 C. -
D. 1

2.设全集U=R，A=：
，B= {x|y=lg(1+x)},则下图中阴影部分表示的集合为

A. {x｜-3

C. {x｜-3 ≤x <0} D. {x｜x <－3}

3. 已知函数f(x)=
，其中a为常数.则“a=-1”是f(x)为奇函数”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. 1 B.
-

C.
D.

5.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10 =32,则
的值为

A.4 B. 2

C. -2 D. -4

6. 用数字1,2,3,4组成数字可以重复的四位数，其中有 且只有一个数字出现两次的四位数的个数为

A, 144 B.120

C.108 D.72

7. 算法如图，若输入m=210,n= 117，则输出的n为

A.2 B.3

C,7 D.11

8. 函数f(x)=
(其中A>0,
)的图象如图 所示，为了得到g(x =cos2x的图象,则只需将f(x)的图象

A. 向右平移
个单位长度

B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度

D. 向左平移
个单位长度

9.若抛物线C1: y2=2px(p >0)的焦点F恰好是双曲线C2:
(a>0,b >0)的右焦 点，且它们的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

10.已知点G是ΔABC的重心，
= 1200，
= -2,则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

11.把一根长度为7的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为

A.
B.
C.
D.

12.已知f(x)=
,且函数y=f(x)+x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是

A. (
,l] B. (O,1] C. (
,O] D. (
,2]

第II卷（90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须做 答。第22题?第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试验.根据 收集到的数据(如下表），由最小二乘法求得回归方程

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______

14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a = -15 ,a4 + a6 = - 14,则当Sn取最小值时，n等于________

15. 以双曲线：
的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是______

16.如图，在平行四边ABCD中，
=90。,2AB2 +BD2 =4,若将其沿BD折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的体积为_______.

三、解答题..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）已ΔABC的内角A,B，C对的边分别为 a,b,c
= (2a,C -26) ,
= (cosC,l)，且
丄
.

(I)求角A的大小;

（II )若a = 1,求b +c的取值范围.

18.(本小题满分12分)某大学体育学院在2012年新招的大一学生中，随机抽取了 40名男生， 他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第 2 组[180,185),第 3 组 [185,190),第 4 组[190,195),第 5 组[195，200) .得到的频率分布直方图（局部）如图所 示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.

(I)求第四组的并补布直方图；

(II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和 “非预备生”中选出5人,再从这5人中 随机选2人,那么至少有1人是“预备 生”的概率是多少？

(III)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ名学生接受 测试,试求ζ的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分）

如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC =2AC=8,AB =

(I )证明：平面PBC丄平面PAC

(II)若PD =
,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

20. (本小题满分12分）

已知椭圆C:
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三 角形OAB为直角三角形.

21. (本小题满分12分）

已知函数
在点（1,f(1))处的切线方程为y = 2.

(I)求f(x)的解析式；

(II)设函数
若对任意的
，总存唯一f τ的
，使得g(x2) ＝f(xl),求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图所示，PA为0的切线,A为切点，PBC是过点O的割线，PA =10,PB =5、

(I)求证：
;

(π)求AC的值.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为
（t为参数,O < a <),曲线C的极坐标方程为

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(II)设直线l与曲线C相交于A ,B两点,当a变化时,求
的最小值.

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=|x-1| +|x-a|,
.

(I)当a =4时,求不等式f(x)
的解集；

(II)若
对
恒成立,求a的取值范围.

邯郸市2013年高三第一次模拟考试

理科数学答案

一、选择题:每题5分共60分

1-5 DDCBB 6-10 ABDBC 11-12 DA

二、填空题：每题5分，共20分

13、68;14、8；15、
；16、
.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(12分)

解：（I）由
⊥
，得
，

再由正弦定理得：
……………2分

又

所以
……………4分

又
……………6分

（II ）由正弦定理得

……8分

……10分

故b+c的取值范围为（1，2]. ……12分

18.(12分)

解：（Ⅰ）

其它组的频率和为

（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，

所以第四组的频率为0.2……3分

（Ⅱ）依题意“预备生”和“非预备生”的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有“预备生”3人，“非预备生” 2人，记从这5人中选2人至少有1人是“预备生”为事件

=
. …………6分

（Ⅲ）由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人

的所有可能取值为0,1,2

，
，
…………9分

0

1

2















的分布列为:

………………12分

19．（12分）

解：(Ⅰ)证明：

点在平面
上的射影是
的中点，

PD⊥平面ABC,PD平面PAC

平面PAC⊥平面ABC ………………2分

BC＝2AC＝8，AB＝4

，故AC⊥BC ………4分

又平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC

BC⊥平面PAC，又BC平面PBC

平面PBC⊥平面PAC………6分

(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0，
），
.………8分

设平面PAB的法向量为

令

设平面PBC的法向量为

,

令
＝0，
=1，
=－
，
………10分

二面角
的平面角的余弦值为
………12分

20.（12分）

解：（Ⅰ）

所以椭圆方程为
………4分

（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

由
得

，得：
，即
-------6分

设
，

(1)若
为直角顶点，则
，即
，

，所以上式可整理得，

，解，得
，满足
-------8分

（2）若
为直角顶点，不妨设以为直角顶点，
，则满足：

，解得
，代入椭圆方程，整理得，

解得，
，满足
-------10分

时，三角形
为直角三角形. -------12分

21. （12分）

解: （Ⅰ）
-----------2分

由
在点
处的切线方程为
，得
，
即
,
解得
.故
----------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，故
在
上单调递增，在

上单调递减,由
，故
的值域为
------6分

依题意
，记

（ⅰ）当
时，

，
在
上单调递减，依题意由
得
，
故此时
---------------------8分

（ⅱ）当
时， >
>
当
时，
<
，当
时，
>
．依题意得：

或
解得
-----------------------10分（ⅲ）当4时，

，此时
>
，
在
单调递增．依题意得

即
此不等式组无解----------11分

综上，所求取值范围为
-----12分.

选做题

22．（10分）

解：（Ⅰ）∵
为⊙
的切线，∴
，

又

∴
∽
．∴
．…………………4分

（Ⅱ）∵
为⊙
的切线，
是过点
的割线，∴
．

又∵
,
，∴
，
…7分

由（Ⅰ）知，
，∵
是⊙
的直径，

∴
．∴
,

∴AC=
……………10分

23、（10分）

解：（1）由
，得

曲线
的直角坐标方程为
…………4分

（2）将直线
的参数方程代入
，得

设A、B两点对应的参数分别为
则
………7分

当
时，|AB|的最小值为2. …………10分

24.（10分）

解:(Ⅰ)
等价于

或
或
，

解得：
或
．

故不等式
的解集为
或
． ……5分

(Ⅱ)因为:
（当
时等号成立）

所以：
……8分

由题意得：
， 解得
,∴的取值范围
． ……10分