广西桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市2013届高三3月联考

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷

第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

球的表面积公式

其中R表示球的半径

球的体积公式

其中R表示球的半径

一、选择题

[ ]1. 设i为虚数单位，复数
等于

A.
B.
C.
D.

[ ]2. 函数
的反函数是

A.

B.

C.

D.

[ ]3. 在等比数列
中，
，
，则

A.
B.
C.
D.

[ ]4. 在正三棱柱
中，已知
，
，则异面直线
和
所成角的余弦值为

A.
B.
C.
D.

[ ]5. “
”是“
”成立的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

[ ]6. 设曲线
在点（3，2）处的切线与直线
垂直，则a=

A. 2 B. －2 C.
D.

[ ]7. 直线
与圆
相交于M、N两点，若
，则k的取值范围是

A. [
,0] B. （
，
]
[
）

C. [
，
] D. [
，0）

[ ]8. 某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加
米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为

A. 360 B. 520 C. 600 D. 720

[ ]9. 已知函数
的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为
，直线
是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是

A.
B.

C.
D.

[ ]10. 如果函数
的图象与方程
的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

[ ]11. 在
所在平面内有一点O，满足
，
，则
等于

A.
B.
C. 3 D.

[ ]12. 设
是定义在R上的偶函数，对任意
，都有
，且当
时，
，若在区间（－2，6]内关于x的方程
恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为

A. （1，2） B. （2，
） C. （
） D. （
，2）

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷共10小题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知
，则
的值为______________。

14. 若
的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项是______。

15. 正三棱锥
内接于球O，且底面边长为
，侧棱长为2，则球O的表面积为______。

16. 设双曲线
（
，
）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若
（
，
），
，则该双曲线的离心率为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）

在
中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，D为AB的中点，求CD的长。

18. （本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%，生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元；若是二等品，则亏损1万元，生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元；若是二等品，则亏损2万元，两种产品生产的质量相互独立。

（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；

（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
，
，
，E是PB的中点。

（Ⅰ）求证：平面
平面PBC；

（Ⅱ）若二面角
的余弦值为
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。

20. （本小题满分12分）

已知数列
中，
，
，其前n项和
满足
，令
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前n项和
。

21. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为
，P为椭圆G的上顶点，且

（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）已知直线
与椭圆G交于A、B两点，直线
与椭圆G交于C、D两点，且
，如图所示。

（i）证明：
；

（ii）求四边形ABCD的面积S的最大值。

22. （本小题满分12分）

设函数

（Ⅰ）当
时，若对任意的
，恒有
，求p的取值范围；

（Ⅱ）证明：

【试题答案】

一、选择题

1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. B

7. A 8. C 9. B 10. D 11. C 12. D

二、填空题：

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，且
，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

由正弦定理得
，即
，解得

在
中，BD=7，
，

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3

，

，

由此得X的分布列为：

X

10

5

2

－3



P

0.72

0.18

0.08

0.02



（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有
件。

由题设知
，解得

又
且
，得
，或

所求概率为
（或
）

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
平面ABCD，
平面ABCD，
，

，
，

，

又
，
平面PBC，

平面EAC，平面
平面PBC

（Ⅱ）解法一：
平面PBC，
，
，

为二面角
的平面角

在
中，E是PB的中点，

，
，

，取PC中点F，连结EF，

则
，
，EF面PAC。

，设点P到平面ACE的距离为h，

则
，解得
，

设直线PA与平面EAC所成角为
，则

解法二：以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。设P（0，0，a）（a>0），则E（
，
，
），
，
，
，

取m=（1，－1，0）

则
， m为面PAC的法向量

设
为面EAC的法向量，则
，

即
，取
，
，
，

则
，

依题意，
，则

于是

设直线PA与平面EAC所成角为
，则
，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知
（
）即

检验知
、2时，结论也成立，故

（Ⅱ）由于

故

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆G的标准方程为
（a>b>0）

因为
,
，所以b=c=1

椭圆G的标准方程为

（Ⅱ）设A（
），B（
），
，D（
）

（i）证明：由
，消去y得

则
，

同理

因为
，所以

因为
，所以

（ii）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则
，因为
，所以

所以

当且仅当
时，四边形ABCD的面积S取得最大值为

22. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，
的定义域为（0，
）

当
时，令
，
，
、
随x的变化情况如下表：

x

（
）



（
,
）





+

0

－





↗

极大值

↘



从上表可以看出，当p>0时，
有唯一的极大值点

当
时在
处取得极大值
，此极大值也是最大值

要使
恒成立，只需
，

p的取值范围为[1，+）

（Ⅱ）令
，由（Ⅰ）知，
，
，

结论成立。