2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）

高三数学（理科）

一、选择题（60分）

1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A
B＝

A、{x|x＞－3}　　　B、{x|－3＜x＜3}

C、{x|x＞－2}　　　D、{x|－2＜x＜3}

2、若
，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝

　A、－1　　B、1　　C、2　　D、3

3、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是

A 、4　　B、6　　C、2
　　D、4

4、采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为

　A、4　　B、5　　C、6　　D、7

5、如右图所示，程序框图输出的结果为

A、15　　B、16　　C、136　　D、153

6、在平面直角坐标系中，不等式组
，表示的平面区域的面积是

　A、3　　B、
　　C、6　　D、9

7、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是

　A、
　　 B、
　　C、
　　D、

8、函数
的图象大致是

9、若
，则
的值为

　A、
　　 B、
　　 C、±
　　 D、±
　　

10、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为

　A、（5,7）　　B、（－15,1）　　C、（5,10）　　D、（－,1）

11、如图，棱长为1的正方体ABC－A1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝
，则下列结论中错误的是

　A、BD⊥CE

B、△CEF的面积为定值

C、直线BC与平面CEF所成的角为定值

D、直线BE与CF所成的角为定值

12、已知单位向量e与向量a，b满足：｜a－e｜＝｜a｜，（a－b）·（b－e）＝0，对每一个确定的向量a，都有与其对应的向量b满足以上条件，设M，m分别为｜b｜的最大值和最小值，令t＝｜M－m｜，则对任意的向量a，实数t的取值范围是

　A、［0,1］　　B、［0，
］　　C、［
］　　D［1，
］

二、填空题（20分）

13、在
的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。

14、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为＿＿＿

15、若函数
，则f（x）≥2的解集为＿＿＿

16、当
时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如

则S（n）＝＿＿＿＿（用关于n的代数式表示）。

三、解答题（70分）

17、（本小题满分10分）已知等差数列{
}的前n项和为
，且
，

（1）求数列{
}的通项公式。

（2）求数列{
}的前n项和
的最大值。

18、（本小题满分12分）

　　在一次抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，为测量A，B两地的距离，救援人员在相距l米的C，D两地（A，B，C，D在同一平面上），没得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°（如右图）。考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B距离的1.2倍，问救援人员至少应该准备多长的电线？

19、（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且AB＝
，BC＝1，点E，F分别为AB，PC中点。

（I）当PA的长度为多少时，EF⊥PD；

（II）在（I）的前提下，求二面角B－PC－D的余弦值。

20、（本小题满分12分）

　为参加部队射击比赛，甲、乙两人进行了4天的集中训练，每天的射击数据如下表

　甲射击数据表：　　　　　　　　　　　　乙射击数据表：

将射击环数的频率视为概率，估计他们的比赛成绩。

（I）求甲、乙两人射击环数X1，X2的分布列，根据射击环数的期望与方差比较两人的射击水平；

（II）若射击成绩在9环以上（含9环）为成绩优秀，求甲在3次射击中至少有2次成绩优秀的概率。

21、（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的右顶点、上顶点分别为M，N，过其左焦点F（－c，0）作垂直于x轴的直线l，且与椭圆在第二象限交于P点，
。

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若椭圆的弦AB过点E（
，0）且不与坐标轴垂直，设点A关于x轴的对称点A1，直线A1B与x轴交于点R（5,0），求椭圆C的方程。

22、（本小题满分12分）

已知函数
。

（I）若f（x）在x＝1处取得极值，求实数a的值；

（II）若f（x）≥5－3x恒成立，求实数a的取值范围。

数学（理科答案）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.

1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 15 14. 3 15.
16.

三、解答题：

17.解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
．

由已知
，
，

得
，………………2分

解得
，
．……………5分

(Ⅱ)法一：

……………8分

当取１０或１１时，
取最大值
．……………10分

法二：数列
的
公差
，

此等差数列
是首项为正数的递减数列．

当
时，
；

所以当
时，有

当
时，有
．………………8分

综上：当取10或11时，

．

所以
取最大值
．………10分

18.解：依题意，
，
，

在
中，
，

根据正弦定理
，∴
， ……….4分

在
中，
，

根据正弦定理BD=
,
…………………….8分

又在
中，

根据勾股定理有

=
…………………………10分

实际所需电线长度约为
………………………….12分

19.解:（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设
，

则

……………2分

又

，

所以
，

当PA的长度为1时，EF⊥PD.………………5分

（Ⅱ）法一：在Rt
中作BNPC，

.

CF=1
N为CF中点。

取ＣＤ中点Ｍ，连结ＭＮ
ＭＮ//ＤＦ。

又ＤＦPＣ，
ＭＮPＣ

为二面角B－PC－Ｄ的平面角．…………9分

在
中
，

cos
=

二面角B－PC－Ｄ的余弦值为
.…………12分

法二：如图建立空间直角坐标系A-xyz，

则B（
）P（
）C（
）D(
)

则
,
,

设平面PBC的法向量

，

，令
，则
，……………8分

同理可得平面PCD的一个法向量
，………………10分

则二面角B－PC－Ｄ的余弦值cos
=
，……………12分

20.解：（Ⅰ） 由甲射击数据表可知，总共射击400次，其中射击7环的频数为40次，8环频数为80次，9环频数为120次，10环的频数为160次.

故

7

8

9

10





0.1

0.2

0.3

0.4



所以，甲射击环数
的分布列为

7

8

9

10





0.2

0.1

0.2

0.5



同理可计算

乙射击环数
的分布列

…………………………………4分
;

…………………………………………………………6分

甲乙两人射击环数均值相等，甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没有差别，但甲发挥比乙稳定. ………………8分

（Ⅱ）甲在一次射击成绩优秀的概率

甲在3次目标射击中至少有2次成绩优秀的概率为：

0.784 …………………………12分

21.解：（Ⅰ）由椭圆方程
得M、N的坐标为M
，N
，则
，又由
，得

由
得
……………….2分

椭圆的离心率为
.…………….4分

（Ⅱ）设
，由
得
，又
，

则
，于是
．…………8分

设直线
，则由
得

．

，
．…………10分

代入得
．解得

所以椭圆方程为
．…………12分

22．解：（Ⅰ）函数
定义域为
，
．

，即
．…………2分

经检验，
符合题意.………………….4分

（Ⅱ）设
，则当
时，
恒成立．

，所以
．…………6分

．方程
有一负根
和一正根
.
．其中
不在函数定义域内．

在
上是减函数，在
上是增函数．即
在定义域上的最小值为
．………8分

依题意
．即
．又
，所以
，因为
，
。所以
，即
，…………10分

令
，则

当
时，
，所以
是增函数。所以
的解集为

所以
．

即的取值范围是
．…………12分

解法二：
，即

设
，则，

设
，则
，

当
时，
，
是减函数

，即
是减函数，
.……………8分

当
时，先证
，

设
，
，

是增函数且
，
，即
，

当
时，

的最大值为2，

即的取值范围是
．………………12分