河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试

文科数学试题

2013.3

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题-24题为选 考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号，非 选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁,不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

第I卷（60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1. i是虚数单位，则
＝

A.1+i B. -i C. 1-i D. i

2.设全集为U,则如图所示的阴影部分所表示的集合为

A.
B.

C.
<0} D.

3. 已知函数f(x)=
，（a为常数）是奇函数，则实数a的值是

A 1 B.－3

C. 3 D.－1

4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. 1 B.
-

C.
D.

5.高等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=3a3 =
,则{an}的值为

A.
B. 1,

C.1,
D. 1

6. 已知变量x,y满足约束条件
，是z=3x+y的最大值为

A, -1 B.3

C.11 D.12

7. 算法如图，若输入m=210,n= 117，则输出的n为

A.2 B.3

C,7 D.11

8. 函数f(x)=
(其中A>0,
)的图象如图 所示，为了得到g(x =cos2x的图象,则只需将f(x)的图象

A. 向右平移
个单位长度B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度D. 向左平移
个单位长度

9.如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且
，SΔABF=
，则双曲线的标准方程是

A.
B.

C.
D.

10.已知点G是ΔABC的重心，
= 1200，
= -2,则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

11.已知正方形AP1P2P3的边长为2，点B，C是边P1P2，P2P3的中点，没AB，BC，CA拆成一个三棱锥P－ABC（使P1，P2，P3重合于点P）则三棱锥P－ABC的外接球表面积为

A.
B.
C.
D.

12.已知f(x)=
,且函数y=f(x)－1恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是

A. (－1，
] B. (－2,0] C. (－2，
] D. (0,1]

第II卷（90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须做 答。第22题?第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试验.根据 收集到的数据(如下表），由最小二乘法求得回归方程

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______

14.已知数列{an}是等差数列，a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1)，若f(x)=x2-4x+2则数列{an}的通项公式an＝________

15.直线y=kx(k∈R)与圆（x-1）2+(y-2)2=4有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（用区间表示）

16.根据表中所列数据，可以归纳出凸多面体的面数F，顶点数V和棱数E之间的关系式为：_________.

三、解答题..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）已ΔABC的内角A,B，C对的边分别为 a,b,c
= (2a,C -26) ,
= (cosC,l)，且
丄
.

(I)求角A的大小;

（II )若a = 1,求b +c的取值范围.

18.(本小题满分12分)某大学体育学院在2012年新招的大一学生中，随机抽取了 40名男生， 他们的身高（单位:cm)情况共分成五组:第1组[175,180),第 2 组[180,185),第 3 组 [185,190),第 4 组[190,195),第 5 组[195，200) .得到的频率分布直方图（局部）如图所 示，同时规定身高在185cm以上（含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.

(I)求第四组的频率，并补全该频率分布直方图；

(II)在抽取的40名学生中，用分层抽样的方法从“预备生”和“非预备生”中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“预备生”的概率是多少？

19. (本小题满分12分）

如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC =2AC=8,AB =

(I )证明：平面PBC丄平面PAC

(II)若PD =
,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

20 （本小题满分12分）设函数f(x)=2lnx-x2

(I)求函数f(x)的单调递增

（II）若关于x的方程f(x)+x2-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围。

21. (本小题满分12分）

已知椭圆C:
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三 角形OAB为直角三角形.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图所示，PA为0的切线,A为切点，PBC是过点O的割线，PA =10,PB =5、

(I)求证：
;

(π)求AC的值.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为
（t为参数,O < a <),曲线C的极坐标方程为

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(II)设直线l与曲线C相交于A ,B两点,当a变化时,求
的最小值.

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=|x-1| +|x-a|,
.

(I)当a =4时,求不等式f(x)
的解集；

(II)若
对
恒成立,求a的取值范围.

邯郸市2013年高三第一次模拟考试

文科数学答案

一、选择题:每题5分共60分

1-5 BADBC 6-10 CBDBA 11-12 CD

二、填空题：每题5分，共20分

13、68；14、
或
15、
16、

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(12分)

解：（I）由
⊥
，得
，

再由正弦定理得：
……………2分

又

所以
……………4分

又
……………6分

（II ）由正弦定理得

……8分

……10分

故b+c的取值范围为（1，2]. ……12分

18.(12分)解：（Ⅰ）其它组的频率和为

（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，

所以第四组的频率为0.2…………4分

（Ⅱ）解法一：依题意“预备生”与“非预备生”的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的3名“预备生”记为a、b、c,2名“非预备生”为m、n.则基本事件是(a,b),(a,c),(a,m),(a,n),(b,c),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(m,n)共10个.其中满足至少有1人是“预备生”的基本事件有9个，故所求的概率为P=
. ----12分

解法二：依题意“预备生”与“非预备生”的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的3名“预备生”记为a、b、c,2名“非预备生”为m、n.则基本事件是(a,b),(a,c),(a,m),(a,n),(b,c),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(m,n)共10个.其中2名都是“非预备生”的基本事件有1个，故所求的概率为P=1-
=
. ----12分

19.（12分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，AC=4,BC=8, AB＝4

,故AC⊥BC-------2分

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC, BC⊥平面PAC

BC平面PBC,平面PBC⊥平面PAC----4分

（Ⅱ）无论M点在PA在何处，MC平面PAC, BC⊥平面PAC,所以△MBC总为直角三角形. ----6分

,当
的面积最小时，只需MC最短.

----8分

又△PAC是等边三角形，所以M在PA中点时，MC最短，此时点M到平面PBC的距离是点A到平面PBC的距离的一半. ----10分

由(Ⅰ) 平面PBC⊥平面PAC；所以过A作PC的垂线AD，即为等边三角形PAC的高即为A到平面PBC的距离，AD=
，所以点M到平面PBC的距离是
.----12分

20．（12分）

解：（Ⅰ）函数
的定义域为
，…………………………………1分

∵
， ………………………… ……2分

∵
，则使
的的取值范围为
，

故函数
的单调递增区间为
． …………………………4分

（Ⅱ）∵
，

∴
． …………………………6分

令
，

∵
，且
，

由
．

∴
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增， ……………………8分

故
在区间
内恰有两个相异实根
……10分

即
解得：
．

综上所述，的取值范围是
． ………………………………12分

21.（12分）解：（Ⅰ）

所以椭圆方程为
………4分

（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

由
得

，得：
，即
-------6分

设
，

(1)若
为直角顶点，则
，即
，

，所以上式可整理得，

，解，得
，满足
-------8分

（2）若
为直角顶点，不妨设以为直角顶点，
，则满足：

，解得
，代入椭圆方程，整理得，

解得，
，满足
-------10分

时，三角形
为直角三角形. -------12分

选做题

22．（10分）

解：（Ⅰ）∵
为⊙
的切线，∴
，

又

∴
∽
．∴
．…………………4分

（Ⅱ）∵
为⊙
的切线，
是过点
的割线，∴
．

又∵
,
，∴
，
…7分

由（Ⅰ）知，
，∵
是⊙
的直径，

∴
．∴
,

∴AC=
……………10分

23、（10分）

解：（1）由
，得

曲线
的直角坐标方程为
…………4分

（2）将直线
的参数方程代入
，得

设A、B两点对应的参数分别为
则
………7分

当
时，|AB|的最小值为2. …………10分

24.（10分）

解:(Ⅰ)
等价于

或
或
，

解得：
或
．

故不等式
的解集为
或
． ……5分

(Ⅱ)因为:
（当
时等号成立）

所以：
……8分

由题意得：
， 解得
,∴的取值范围
． ……10分