20 1 3年高考数学 2013.4

一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．

1．复数
的共轭复数

(A)
(B)
(C)
(D)

2．设集合
，集合B为函数
的定义域，则

(A)
(B)
(C)[1,2) (D) (1,2]

3．已知直线
平面，直线∥平面
，则“
”是“
”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

4．设随机变量
(3，1)，若
，)，则(2

( A)
( B)l—p (C)l-2p (D)

5．设曲线
上任一点
处切线斜率为
，则函数
的部分图象可以为．

6．运行右面框图输出的S是254，则①应为

(A)a≤5

(B)a≤6

(C)a≤7

(D)a≤8

7．若不等式
对任意的
恒成恒成立，则实数
的取值范围

(A) (-2，4) (B) (0,2) (C) [2，4] (D) [0,2]

8．某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为

(A)360 (B)520 (C)600 (D)720

9．定义
，若函数
，则将
的图象向右平移
个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 (A)
(B)
(C)
(D)

1 0．已知
，满足
，则
的最大值是

(A)
(B)
(C)
(D)

1 1．已知抛物线
的焦点F与双曲
的右焦点重合，抛物线的准 线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且
，则A点的横坐标为

(A)
(B)3 (C)
(D)4

1 2．已知
，同时满足以下两个条件：

①
； ②
成立，

则实数a的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1 6分．

1 3．已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则 双曲线的离心率等于 。

1 4．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为 。

1 5．在区间
内随机取两个数a、b， 则使得函数
有零点的概率

为 。

1 6．现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为 10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中 项，则n= 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数
．其图象的两个相邻对称中心的距离为
，且过点
．

(I) 函数
的达式；

(Ⅱ)在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，
，
，角C为锐角
求c的值．

1 8．（本小题满分12分）

某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得1 0分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为
，乙答对每个题的概为
．

( I )设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；

(Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为20分的概率．

1 9．（本小题满分1 2分）

如图，四边形ABCD中，
,AD∥BC，AD =6，BC =4，AB =2，点E，F分别在BC，AD上，且E为BC中点，EF∥AB。现将四边形ABEF沿EF折起，使二面角
等于
．

( I )设这P为AD的中点，求证：CP∥平面ABEF；

(Ⅱ)求直线AF与平面ACD所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分） 已知数列
的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数
构成等差数列
,
是
的前n项和，且

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知
，求
的值；

(Ⅱ)设
，当
时，对任意
，

不等式
恒成立，求t的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正

半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且

椭圆D：
的焦距等于
，且过点

( I ) 求圆C和椭圆D的方程；

(Ⅱ) 设椭圆D与x轴负半轴的交点为P，若过点M的动直线
与椭圆D交于A、B

两点，
是否恒成立？给出你的判断并说明理由．

22．（本小题满分14分）

设函数
，其中
．

( I )若函数
图象恒过定点P，且点P关于直线
的对称点在
的图象上，求m的值；

(Ⅱ)当
时，设
，讨论
的单调性；

(Ⅲ)在(I)的条件下，设
，曲线
上是否存在两点P、Q，

使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．