北京市东城区普通校2013届高三第二学期联考

数学（理科）

命题校：北京27中学 2013年3月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷(选择题，共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知平面向量
,
, 且∥
, 则的值为（ ）

（A）
（B） （C）
（D）

2．极坐标方程
化为直角坐标方程是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3．平面
平面
的一个充分条件是（　　）

（A）存在一条直线

（B）存在一条直线

（C）存在两条平行直线

（D）存在两条异面直线

4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20，

则判断框中应填入的条件为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

第4题图

5. 如图，已知
是⊙
的一条弦，点为
上一点，
，

交⊙
于
，若
，
，则
的长是（ ）

（A）
（B）
（C） （D）
第5题图

6．已知函数
的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )

第6题图

(A)
(B)

(C)
(D)

7. 设
若
的最小值为( )

(A) 8 (B) 4 (C) 1 (D)

8.对实数与
，定义新运算“
”：
设函数
若函数
的零点恰有两个，则实数的取值范围是（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在
的展开式中，含
项的系数是________.（用数字作答）

10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.

11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为　　　. 第11题图

12.已知区域
，
，

向区域内随机投一点，点落在区域
内的概率为 .

13．如图，
和
分别是双曲线

的两个焦点，和是以
为圆心，以
为半径的圆与

该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双

曲线的离心率为 . 第13题图

14.设S为复数集C的非空子集.若对任意
，都有
，

则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{z|z= a＋bi（
为整数，为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有
；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足
的任意集合也是封闭集.

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15. （本小题满分13分）

在
中，角
的对边分别为
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）求
，的值；

（Ⅱ）求
的值.

16.（本小题满分13分）

甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求

(Ⅰ)摸出3个白球的概率；

(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；

（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。

17.（本小题满分14分）

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，

其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角

三角形，正视图为直角梯形．

（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;

（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得

AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知函数

(Ⅰ)若
，求函数
在（1，
）处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数
的单调区间

19.（本小题共14分）

已知椭圆
的离心率为

（I）若原点到直线
的距离为
求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为
的直线和椭圆交于A，B两点.

（i）当
，求b的值；

（ii）对于椭圆上任一点M，若
，求实数
满足的关系式.

20. （本小题满分13分）

设
，
，…
是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足
的整数
，数列
，
，…
由

确定。记

(Ⅰ)当
时，求M的值；

(Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值

高三数学（理科）

参考答案

（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）

一.选择题

1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B

二.填空题

9. 15 10. 72 11. 0.035,64.5 12.
13.
14. ①②

三.解答题

15．（本小题满分13分）

在
中，角
的对边分别为
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）求
，的值；

（Ⅱ）求
的值.

解：（Ⅰ）由已知，
，
，

因为
，

即
，

解得
.

由余弦定理可得:
,

所以
. ………………..7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）有
,

由于B是三角形的内角，

易知
,

所以

. ………………..13分

16.（本小题满分13分）

甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求

(Ⅰ)摸出3个白球的概率；

(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；

（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人又放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。

解：（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件
则

………………..3分

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B，则
，又

且A2，A3互斥，所以
………………..6分

（Ⅲ） X的所有可能取值为0，1，2.

所以X的分布列是

X

0

1

2



P









 X的数学期望
………………..13分

17.（本小题满分14分）

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，

其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角

三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得

AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.

解：（1）由该几何体的三视图知
面
,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴
．

即该几何体的体积V为
．----------------------------------4分

（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴
，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．----------------------------------4分

（3） ∵点Q在棱DE上，∴存在
使得

同理

,即

∴
，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 ----------------------------------14分

18.（本小题满分13分）

已知函数

(Ⅰ)若
，求函数
在（1，
）处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数
的单调区间

解：（1）当
时，

，

切线方程为
…… 4分

(2) 定义域

令
，解得
，

①当
，
恒成立，则
是函数的单调递增区间

②当
时，
，

在区间（0,1）和（
）上，
；在（
）区间上
，

故
的单调递增区间是（0,1）和（
），单调递减区间是（
）

③当
时，在区间（0,
）和（
）上，
；在（
）区间上
，故
的单调递增区间是（0,
）和（
），单调递减区间是（
）

④当
时，
，在区间（0,1）上
，在区间（
）上，
，故
的单调递增区间是（
），单调递减区间是（0,1）。

…… 13分

19.（本小题共14分）

已知椭圆
的离心率为

（I）若原点到直线
的距离为
求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为
的直线和椭圆交于A，B两点.

（i）当
，求b的值；

（ii）对于椭圆上任一点M，若
，求实数
满足的关系式.

解：（I）

解得

椭圆的方程为
…………………………4分

（II）（i）∵e
椭圆的方程可化为：

①

易知右焦点
，据题意有AB：
②

由①，②有：
③

设
，

………………………8分

（2）（ii）显然
与
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
，有且只有一对实数λ，μ，使得等
成立.

设M（x，y），

又点M在椭圆上，
④

由③有：

则

⑤

又A，B在椭圆上，故有
⑥

将⑥，⑤代入④可得：
……………………14分

20.（本小题13分）

设
，
，…
是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足
的整数
，数列
，
，…
由

确定。记

(Ⅰ)当
时，求M的值；

(Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值