厦门市2013届三月高三质量检测

数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120分钟.

参考公式：锥体体积公式
,其中
为底面面积，
为高.

第Ⅰ卷（选择题:共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，那么
等于

A.
B．
C.
D．

2．如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为

A．
B．
C．
D．

3．若
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列命题正确的是

．

．

．
　
．

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，给出下列条件，能得到
的是

A．
B．

C．
D．

6．将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，则它的一个对称中心是

A．
B.
C.
D.

7．定义
．右图是求
的程序框图，则在判断框内应填的条件是

A．
B.
C.
D.

8．已知
是抛物线
的焦点,准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上,且
,则
等于

A．
B．
C．
D．

9．函数
的零点个数为

．1
．2
．3
．4

10．式子
满足
，则称
为轮换对称式．给出如下三个式子：①
；②
；

③

是
的内角）．其中，为轮换对称式的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

11．如图,在边长为
的菱形
中 ,
，对角线相交于点
,
是线段
的一个三等分点，则
等于

A.
B．
C.
D．

12．对于函数
，若存在区间
，使
时，
，则称区间
为函数
的“
倍区间”．已知函数
，则
的“5倍区间”的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷(非选择题:共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．设
为虚数单位，则复数
= ．

14．焦点在
轴上，渐近线方程为
的双曲线的离心率为 ．

15．已知△
的三个内角
所对的边分别为
，若△
的面积为
,则
．

16．给出下列命题：

①
的最小值是2；

②
；

③若不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围为
．

真命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．

17．（本小题满分12分）

为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中
处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分.

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．

18．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
在
上的单调递增区间；

（Ⅱ）设函数
，求
的值域.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
⊥底面
，
分别是线段
的中点.

（Ⅰ）若
，
，求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）若点
在线段
上，且
，证明：直线
∥平面
．

20．（本小题满分12分）

设直线
是曲线

的一条切线，
．

（Ⅰ）求切点坐标及
的值；

（Ⅱ）当
时，存在

，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为

，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用
分别表示在第
次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．

(Ⅰ)若
，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数
；

(Ⅱ)（ⅰ）证明数列
是等比数列，并用
表示
；

（ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求
的取值范围．

22．（本小题满分1４分）

已知圆
，椭圆
．

（Ⅰ）若点
在圆
上，线段
的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点
的横坐标；

（Ⅱ）现有如下真命题：

“过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，则这两条切线互相垂直”；

“过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，则这两条切线互相垂直”．

据此,写出一般结论，并加以证明．

厦门市2013届高三质量检查

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1—6：BAADDC 7—12： BCCCBD

12.提示：先证明函数
在R上是增函数，再确定方程
有三个不等根，得
有三个“5倍区间”．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.

13．
14.
15.
16. ②

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17. 本题主要考查茎叶图，样本的数字特征，古典概型，考查数据处理能力和运算求解能力，考查或然与必然的数学思想．满分12分.

解：（Ⅰ）
甲同学成绩的中位数是83，

, ……………………………………………… 3分

乙同学的平均分是86分，

,

. …………………………………………………… 6分

（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为
，
，

乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为
，
，
，

“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，
，共有10种情况， …………………………………………… 9分

记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件
，则事件
包含的基本事件为：

，
，
，
，
，共有6种情况……11分

则
，

答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为
. ……………………………………………………………………12分

18. 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想．满分12分.

解:（Ⅰ）
，………………………………………2分

， ………………4分

； 　………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
， ………7分

设
，当
时，
，

则
， ……………………………………………………9分

由二次函数的单调性可知，
，

又

, ………………………………………………11分

则函数
的值域为
． ………………………………………………………12分

19. 本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分.

解：（Ⅰ）在
中，
，

点
是线段
的中点
AD⊥

， …………………3分

⊥底面
，

．……6分

（Ⅱ）法一:取CD的中点H,连接FH,EH,

∵E为线段PD的中点,∴△PDC中,EH∥PC,

∵EH
平面
，PC
平面
，

∴EH∥平面
,　　　……………………8分

∵
,∴△ABC中,FH∥AC,

∵FH
平面
，AC
平面
，

∴FH∥平面
,　　……………………………10分

FH
EH=H，
平面EHF∥平面
，………11分

ＥF
平面EHF，

∥平面
. ………12分

法二:分别取AD，AB的中点M，N，连结EM，MF，DN，

点
、M是分别是线段
、AD的中点，
EM∥PA，

EM
平面
，PA
平面
，

EM∥平面
，…………………………………8分

，
，
点F是线段AN的中点,

在
中，AF=FN，AM=MD，
MF∥DN,

在
中，AN=NB，CD=DB，
DN∥AC，
MF∥AC，

MF
平面
，AC
平面
，
MF∥平面
， …………10分

EM
MF=M ，
平面EMF∥平面
， …………………………11分

EF
平面EMF，

∥平面
.　　 ………………………………12分

20.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分.

（Ⅰ）解：设直线
与曲线
相切于点
，

,

, 解得
或
,…………………………………2分

当
时，
，

在曲线
上，∴
,

当
时，
，

在曲线
上，∴
,

切点
，
， ……………………………………………4分

切点
，
． ……………………………………………6分

(Ⅱ)解法一：∵
，∴
，

设
，

若存在

，则只要
， ……………8分

，

(ⅰ)若
即
，令
，得
，

，∴
在
上是增函数，

令
，解得
，

在
上是减函数，

，
,

解得
，…………………………………………………………………10分

(ⅱ)若
即
，令
，解得
，

， ∴
在
上是增函数，

，不等式无解，

不存在， …………11分

综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数
的取值范围为
．………………………12分

解法二：由
得
,

(ⅰ)当
时，
，设

若存在

，则只要
， ……8分

，

令
解得


在
上是增函数，

令
，解得


在
上是减函数，

，

， ……………………………10分

（ⅱ）当
时，不等式
不成立，

∴
不存在， ……………………………………………………………11分

综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数
的取值范围为
． ………………12分

21. 本题主要考查数列的概念，等比数列的定义，数列求和，考查运算求解的能力，应用意识，考查特殊与一般的思想，分类与整合的思想． 满分12分.

解：(Ⅰ)由已知
，又
，
, ……………………1分

∴
，…………………………………………………2分

∴
，

∴
．……………………………………4分

(Ⅱ)（ⅰ）由题意得
，

，……………………5分

，---------------------------------6分

，

，

数列
是等比数列，-------------------------------7分

，

得
-----------------------------8分

（ⅱ）前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列
的前10项和
，

，…10分

由已知，
，

得
，

，
，…………………11分

，∴
的取值范围是
,且
．……12分

22. 本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分．

解法一：

（Ⅰ）设点
，则
， （1）　　 ……………………1分

设线段
的垂直平分线与
相交于点
，则

，……2分

椭圆
的右焦点
， ………………3分

,

，

，

， （2）…………………………4分

由（1），（2），解得
，
点
的横坐标为
．…5分

（Ⅱ）一般结论为：

“过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，则这两条切线互相垂直．”………………………………6分

证明如下：

（ⅰ）当过点
与椭圆
相切的一条切线的斜率

不存在时，此时切线方程为
，

点
在圆
上 ，

，

直线
恰好为过点
与椭圆
相切的另一条切线，

两切线互相垂直．…………………………………………7分

（ⅱ）当过点
与椭圆
相切的切线的斜率存在时，

可设切线方程为
，

由
得
，

整理得
，…9分

直线与椭圆相切，

，

整理得
，………………………11分

， ……………………………………………… 12分

点
在圆
上，

，……13分

，

，
两切线互相垂直，

综上所述，命题成立．…………………………………………………14分

解法二：

（Ⅰ）设点
，则
， （1）……………………………1分

椭圆
的右焦点
，………………………………2分

点
在线段
的垂直平分线上，

，

，

， （2）……4分

由（1），（2），解得
，
点
的横坐标为
．……………5分

（Ⅱ）同解法一．