河南省普通高中

2013年新课程高考适应性考试（一）

数学（文）试题

本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={
}，下图中阴影部分所表示的集合为

A．{0，1，2} B．{1，2}

C．{1} C．{0，1}

2．复数
，在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第二象限 D．第四象限

3．在用二分法求方程
的一个近似解时，已将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为

A．（1，4，2） B．（1，1，4） C．（1，
） D．

4．已知命题
使得
命题
，下列命题为真的是

A．p q B．（
C．

D．

5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．
B．
C．
D．

6．设函数
是

A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数

D．最小正周期为
的偶函数

7．如图是计算函数
的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是

A．y=ln（一x），y=0，y=2x

B．y=0，y=2x，y=In（一x）

C．y=ln（一x），y=2z，y=0

D．y=0，y=ln（一x），y=2x

8．如果数列
是首项为1，公比为

的等比数列，则
等于

A．
B．—32

C．
D．32

9．在同一坐标系中画出函数
的图象，可能正确的是

10．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足

（a-c）·（b一c）=0，则|c|的最大值是

A．1 B．
C．2 D．

11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为

A．16 B．24 C．32
D．48

12．过双曲线
的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22～24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数
的最大值是 。

14．已知函数
上的奇函数，且
的图象关于直线x=1对称，当
时，
．

15．已知圆
过坐标原点，则圆心C到直线
距离的最小值等于 ．

16．已知函数
处取得极值，若
的最小值是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

（I）求证：a，c，b成等差数列；

（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最大内角为120°，求△ABC的面积．

18．（本小题满分1 2分）

如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中。AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D．

（I）求证：A1B∥平面AC1D；

（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D?若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元

之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组 [13，14）；

第二组[14，15），……，第五组[17，18]。右图是按上述分

组方法得到的频率分布直方图．

（I）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的

中位数（精确到0．1）；

（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知

m，
，求事件“|m-n|>l”的概率．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为
左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知函数

（1）若函数
和函数
在区间
上均为增函数，求实数a的取值范围；

（2）若方程
有唯一解，求实数m的值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

在ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心。

（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；

（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为

（I）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求
的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
=

（I）求函数
的最小值m；

（II）若不等式
恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

A

A

B

B

D

D

D

D

C



二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）
? （14）???? （15）
?????? （16）

三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化为

，

所以
，??? 3分

所以
，所以
.

由正弦定理得，
， 所以a，c，b成等差数列. ?? ????????? ?? ………6分

（Ⅱ）由
? 得
?? 且a为最大边,

由
，得：
，从而
, ?????????…10分

所以
.??? 12分（18）（Ⅰ）证明：因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD．又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1，

所以AD⊥BC，所以D是BC的中点．????????3分

如图，连接A1C，设与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．

连接DE，则在
中，因为D、E分别是BC、A1C的中点，所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D内，A1B不在平面AC1D内，所以A1B∥平面AC1D．?????……6分

（Ⅱ）解：存在这样的点P，且点P为CC1的中点．???????…7分

下面证明：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD．

设PB1与C1D相交于点Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，

因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D．因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D． …12分

（19）解：（Ⅰ）价格在[16,17﹚内的频数为1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32，

??? ? 所以价格在[16,17﹚内的地区数为50×0.32＝16，…2分

设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，解得：x=15≈15.7（元）???5分

?（Ⅱ）由直方图知，价格在
的地区数为
，记为、、；价格在
的地区数为
，记为
若
时，有
，，
3种情况；

若
时，有
6种情况；若
分别在
和
内时，

?

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



z

zA

zB

zC

zD



共有12种情况. ?? ?????????????????? 10分所以基本事件总数为21种，

事件“
”所包含的基本事件个数有12种.

???????…12分

（20）解：（Ⅰ）在
中,设
,
,由余弦定理得
，

即
，即
，

得
.?????????…2分又因为
，
，
，

又
所以
，所以所求椭圆的方程为
.???????……6分

（Ⅱ）显然直线
的斜率存在，设直线方程为
，
，

由
得
，即
，

，