湖南省十二校2013届高三第二次考试

数学（理）试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：

(1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；

(2)非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；

(3)请勿折叠答题卡。保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

3．本试题卷共6页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

总分：150分时量：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置．

1．已知复数
，其中i是虚数单位，则z的模|z|等于

A．一2 B．3 C．4 D．2

2．已知
，命题
：方程
=l表示椭圆，命题q：
，则命题p是命题q成立的( )条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

3．函数，
的最小正周期是

A．
B．
C．2
D．4

4．如右图，已知三棱锥的底面是边长为l的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，

则其侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．1

5．已知函数，
，若存在实数a，b∈R，满足
，则a的取值范围是

A．[1，3] B．(1，3)

C．[2一
，2+
] D．(2一
，2+
)

6．2012年6月9日，我省临湘市部分山区遭遇历史罕见的泥石流，大量村民房屋倒塌，灾“民生活状况困难，灾情严重．省政府统一部署，加紧调集大量救灾物质支援灾区的救灾工作，工作人员对6辆货运省汽车进行编组调度，决定将这6辆汽车编成两组，每组3辆，且甲与乙两辆汽车不在同一小组．如果甲所在小组3辆汽车先开出，那么这6辆汽车先后不同的发车顺序共有

A．36种 B．108种

C．216种 D．432种

7．定义在R上的函数
满足
单调递增，如果
，则
的值

A．恒小于0 B．恒大于0

C．可能为0 D．可正可负

8．若
表示不超过x的最大整数)，则方程
的实数解的个数是

A．1 B．0 C．2 D．4

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

(一)选做题(请考生在9、10、1l三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)

9．(几何证明选讲)如图，圆0的割线PBA过圆心O，弦CD交PA

于点F，且△COF～△PDF，PB=OA=2，则．PF= ．

10．(坐标系与参数方并呈)极坐标系中，曲线
l

相交于点A，B，则|AB|= ．

11．(不等式选讲)已知半圆的直径AB=2R，P是弧AB上一点，则2|PA|+3|PB|的最大值是 ．

(二)必做题(12～16题)

12．已知二项式(
展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为 ．

13．A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径的概率为 ．

14．为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，

按锻炼时间分下一列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；

③21~30分钟；④30分钟以上．有l0 000名中学生参加了此项活动，

下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均

每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是 ．

15．定义：称
为n个正数
的平均倒数若正项

数列
的前n项的“平均倒数”为上
，则数列
的通项公

式为
= ．

16．已知数集X={
若对任意的
都存在
，使得下列三组向量中恰有一组共线：

①向量(
)与向量(
)；

②向量(
)与向量(
)；

③向量(
)与向量(
)，则称x具有性质P例如(1，2，4)具有性质P．

(1)若{1，3，x}具有性质P，则z的取值为

(2)若数集{l，3
}具有性质P，则
的最大值与最小值之积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量
，又点A(8，0)，B(n,t)C(ksin
，t)(
≤
).

(1)若

(2)若向量
与向量a共线，当k>4，且tsin
取最大值为4时，求
.

18．(本小题满分12分)

已知梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠BAD=
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE--x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)

(1)当x=2时，求证：BD⊥EG；

(2)若以F、B、c、D为顶点的三棱锥的体积记为
（x)，当f(x)取得最大值时，求二面角D—BF—C的余弦值．

19．(本小题满分12分)

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：

(x)= x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx,f5(x)=cosx，f6(x)=2

(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数}的分布列和数学期望．

20．(本小题满分13分)

湖南某知名企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6，8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；

（2）如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划．．

21．（本小题满分13分） ，

抛物线C的方程为
，过抛物线C上一点P（
）（x0≠0），作斜率为k1，k2的两条直线，分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同），且满足
+
．

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB上一点M满足
，证明：线段PM的中点在y轴上；

（3）当λ=l时，若点P的坐标为（1，一1），求么．PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围。

22．（本小题满分13分）

已知函数
的定义域为[0，1]，且同时满足：对任意
若
。

（1）求
的最大值；

（2）试求
的最大值；

（3）设数列
的前n项和为Sn，且满足

求证：