湖南省十二校2013届高三第二次考试

数学（文）试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：

(1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；

(2)非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；

(3)请勿折叠答题卡。保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

3．本试题卷共6页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

总分：150分时量：120分钟

参考公式：

（1）柱体体积公式V=Sh,其中S为底面面积，h为高。

（2）锥体体积公式V=
Sh，其中S为底面面积，h为高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置．

1．已知集合
，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为

A．
B．

C．
D．

2．若
是虚数单位，且
对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知双曲线
的一个焦点与抛物线
x的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

4．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内设一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为

A．
B．

C．
D．

5．某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为

A．80 B．

C．
D．118

6．下列命题中正确的命题个数为

①存在一个实数x使不等式
成立；②已知a，b是实数，若ab=0，则a=0且b=0；③
是tanx=1的充要条件.

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知数列
的前n项和
满足：
且

A．10 B．60 C．6 D．54

8．若x,y满足
仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是

A．（0，2） B．（—4，2） C．（—4，0） D．（—4，0]

9．定义在R上的函数
满足
。若
则n

A．1 B．4 C．2 D．3

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

10．已知向量
.

11．设极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知直线l的极坐标方程是：
=a，
圆，C的参数方程是
为参数），若圆C关于直线l对称，则a= .

12．设函数
若
是奇函数，则g（3）= .

13．执行如图所示程序框图，输出结果S= .

14．设圆
，过圆心C作倾斜角为锐角的直线l交圆C于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程是 .

15．已知函数
的定义域为[—1，5]，部分对应值如下表，
的导函数
的图象如图所示.

（1）
的极小值为 ；

（2）若函数
有4个零点，则实数a的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知向量

（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数
的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
倍；再把所得到的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的值域。

17．（本小题满分12分）

M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作。

（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；

（2）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

18．（本小题满分12分）

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；

（2）当AC=x时，
表示三棱锥A—CBE的体积，当
取得最在值时，求直线AD与平面ACE所成角的正弦值.

19．（本小题满分13分）

大学生自主创业已成为当代潮流，某大学大三学生刘某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款，已知刘某每月月底获得的利润是该月初投入资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出。

（1）设刘某第n个月月底余
元，第n+1个月月底余
元，写出
的值并建立
的递推关系。

（2）预计年底刘某还清银行贷款后的纯收入。

（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10-11，0.1212≈8.92×10-12）

20．（本小题满分12分）

如图，设椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足BF1=F1F2，且AB·AF2=0

（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m,0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形的菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由。

21．（本小题满分13分）

已知
的图象在点（1，
处的切线与直线
平行。

（1）求a与b满足的关系式；

（2）若
0且
在
上恒成立，求a的取值范围。