南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（八）

数学（理）试题

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个正确选项）

1．复数
（
是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．命题甲：

或

；命题乙：


，则甲是乙的 ( )

A.充分非必要条件； B.必要非充分条件；

C.充要条件； D.既不是充分条件，也不是必要条件.

3．在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．设
，
，
是空间三条直线，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )

A.当
时，若
，则
∥

B. 当
时，若
，则
⊥

C.当
，且c是a在
内的射影时，若
，则

D.当
，且
时，c∥
，则b∥c

5．在数列{
}中，若对任意的n均有
＋
＋
为定值
，且
，
，
则数列
的前100项的和S100＝ ( )

A．132 B．299 C．68 D．99

6．执行如图所示的程序框图，输出的
值是 ( )

A．3 B。4 C。5 D。6

7．设等差数列
满足：

，

公差
. 若当且仅当
时，数列
的前
项和
取得最大值，则首项
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

8．已知椭圆：
和圆
：
，过椭圆上一点
引圆
的两条切线，切点分别为
. 若椭圆上存在点
，使得
，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）

A．
B。
C。
D。

9．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设函数
的定义域为
,若存在常数
,使
对一切实数
均成立,则称
为“好运”函数.给出下列函数:

①
;②
;③
;④
.

其中
是“好运”函数的序号为 .

A 。① ② B。① ③ C。 ③ D。 ② ④

填空题： （本大题共4小题，每小题5分 ，共20分。）

11．
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．

12．已知M，N为平面区域
内的两个动点

向量
=（1，3）则
·
的最大值是

13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），则a的值为______________.

14．研究问题：“已知关于
的不等式
的解集为（1，2），解关于
的不等式
”，有如下解法：由
，令
，则
，所以不等式
的解集为
。类比上述解法，已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为 .

三、选作题：本小题5分。

15．（1）．若关于
的不等式
的解集非空，则实数
的取值范围是 。

（2）. 直线
的参数方程是
（其中
为参数），圆
的极坐标方程为
，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 。

解答题：本大题共6小题，共75分。

16．（本小题满分12分）

设函数
.

（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）当
时，函数
的最大值与最小值的和为
，求
的解析式；

（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数
的图像向右平移
个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移
，得到函数
，求
图像与
轴的正半轴、直线
所围成图形的面积。

17. （本小题满分12分）

在2013年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．

(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；

(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．

18． (本小题满分12分)

已知几何体
的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

(Ⅰ)求此几何体的体积；

(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的余弦值；

(Ⅲ)探究在
上是否存在点Q，使得
，并说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知函数
，若存在
使得
恒成立，则称
是
的一个“下界函数” ．

(I)如果函数
（t为实数）为
的一个“下界函数”，

求t的取值范围；

（II）设函数
，试问函数
是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

20. （本小题满分13分）

已知点
是椭圆
的右焦点，点
、
分别是
轴、
轴上的动点，且满足
．若点
满足
．

(Ⅰ)求点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ)设过点
任作一直线与点
的轨迹交于
、
两点，直线
、
与直线
分别交于点
、
（
为坐标原点），试判断
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分14分）　　已知A(
,
)，B(
,
)是函数
的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线
上，且
.　　（1）求
+
的值及
+
的值　　（2）已知
，当
时，

+
+
+
，求
；　　（3）在（2）的条件下，设