南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（八）

数学（文）试题

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．复数
表示复平面内点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2．执行右边的程序框图，输出的结果为（ ）

A． 15

B． 16

C． 64

D． 65

3．已知等比数列
中有
，数列
是等差数列，

且
，则
（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

4．椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．函数
的图象恒过定点A，且点A在直线
上
，则
的最小值为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．14

7．函数

部分图象如图所示，则函数表达式为： （ ）

A．
B．

C．
D．

8．已知O是
内部一点，
则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．某次数学测试中，学号为i（i=1，2，3）的三位学生的考试成绩
则满足
的学生成绩情况的概率是

A．
B．
C．
D．

10．已知
的最小值为
，若函数

的解集为

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11. 已知函数
则
.

12．函数
的零点属于区间
，则
.

13．已知
是坐标原点，点
的坐标为（2，1），若点
为平面区域
上的一个动点，则
·
的最大值是 。

14．已知向量
在向量
上的投影为2，且
与
的夹角为
，则
= 。

15．△ABC的三个角的正弦值对应等于△A1B1 C1的三个角的余弦值，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为
、
、
，且角A、B是△ABC中的两个较小的角，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论的编号）

①△A1B1C1是锐角三角形；②△ABC是钝角三角形；③sinA>cosB

④

⑤若c=4，则ab<8．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）已知
中，
是三个内角
的对边，关于
的

不等式
的解集是空集。

（1）求角
的最大值；

（2）若
，
的面积
,求当角
取最大值时
的值。

17.（本小题满分12分）已知数列
为等差数列，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明
…
.

18．（本小题满分12分）

从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．

（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；

（II）为了分析使用寿命差异较大的产品，从使用寿命低于200天和高于350天的产品中用分层抽样的方法共抽取6件，求样品A被抽到的概率。

19.（本小题满分12分）

在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，

，
，
，

是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
；

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左焦点F为圆
的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为
。

（I）求椭圆方程；

（II）已知经过点F的动直线
与椭圆交于不同的两点A、B，点M（
），证明：
为定值。

21. （本小题满分14分）设函数

（1）若函数
在x=1处与直线
相切．

①求实数
，
的值；②求函数
在
上的最大值.

（2）当
时，若不等式
对所有的
都成立，求实数
的取值范围.

2013届高三模拟试卷（8）

数学（文）参考答案

（2）
＝
， ………………………………………………………7分

得
， ………………………………………………………8分

　　　　 由余弦定理得：
， 从而得　

则　
.　 ………………………………………………………12分

17、 解：（1）设等差数列的公差为d，

由
得
即d=1； …………3分

所以
即
…………6分

（2）证明：
…………8分

所以
…
…
…12分

18、解：

（Ⅰ）样本数据的平均数为：

175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0.1＝280．

因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天． …5分

（Ⅱ）使用寿命低于200天的一组中应抽取6×＝2． …7分

记使用寿命低于200天的5件产品A，B，C，D，E．

从中选出2件的不同情形为：

AB，AC，AD，AE，

BC，BD，BE，

CD，CE，

DE，

共10种可能．

其中某产品A被抽到的概率为P＝＝． …12分

19.解：（Ⅰ）证明：∵
，

∴
．

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，

∴
．

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
． …………………5分

（Ⅱ）

证明：∵
平面
，
平面
，

∴
，

又
，
平面
，

∴
平面
．

过
作
交
于
，则
平面
．

∵
平面
， ∴
．

∵
，∴四边形
平行四边形，

∴
，

∴
，又
，

∴四边形
为正方形，

∴
，

又
平面
，
平面
,

∴
⊥平面
．

∵
平面
,

∴
． ………12分

20．（1）因为圆
的圆心为
，半径
，所以椭圆的半焦距

又椭圆上的点到点F的距离最小值为
，所以
，即

所以，所求椭圆的方程为
。。。。。。。。。2分

（2）①当直线
与
轴垂直时，
的方程为
，可求得

此时，
。。。。。。。。。。。。。。4分

②当直线
与
轴不垂直时，设直线
的方程为

由
得
。。。。。。。。。。6分

设
，则
。。。。。。。。。。。。。。。7分

因为

所以，
为定值，且定值为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分

21. 解：（1）①
，

函数
在
处与直线
相切，

解得

②

当
时，令
得
；

令
，得

在
上单调递增，在[1，e]上单调递减，

………………………………（6分）