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淄博市2012—2013学年度高三模拟考试试题

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将试卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1在复平面内，复数
的对应点位于（ ）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

2已知集合
，
，则
，则
等于( )

A 6 B 7 C 8 D 9

3设命题
函数
的最小正周期为
；函数
函数
的图象关于直线
对称.则下列的判断正确的是( )

A为真 B
为假 C
为假 D
为真

4已知是圆
上的动点，则点到直线
的距离的最小值为（ ）

A B
C D

5某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名“献爱心”志愿者，抽到高一男生的概率是0.2，先用分层抽样的方法在全校抽取100名志愿者，则在高二抽取的学生人数为（ ）

A 40 B 60 C 20 D 30

6某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（ ）

A 0 B 1 C 2 D 3

7已知
的面积为2，在
所在的平面内有两点、
，满足
,
,则
的面积为（ ）

A
B
C D

8在同一个坐标系中画出函数
，
的部分图象，其中
且
，则下列所给图象中可能正确的是（ ）

9一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A
B
C D

10设定义在上的奇函数
，满足对任意
都有
，且
时，
，则
的值等于（ ）

A
B
C
D

11数列
的前项和为
，已知
，且对任意正整数，，都有
，若
恒成立，则实数的最小值为（ ）

A
B
C
D

12在区间
和
内分别取一个数，记为和
，则方程
表示离心率小于
的双曲线的概率为（ ）

A
B
C
D

第Ⅱ卷（共90分）

填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13已知抛物线
上一点到焦点的距离是5，则点的横坐标是________.

14若函数
的图象与轴所围成的封闭图形的面积为，则
的展开式中各项系数和为________（用数字作答）.

15观察下列不等式：①
；②
；③
；...请写出第个不等式_____________.

16下列结论：

①直线，
为异面直线的充要条件是直线，
不相交；

②函数
的零点所在的区间是
；

③已知随机变量
服从正态分布
,且
，则
；

④已知函数
，则
的图象关于直线
对称.

解答题:本大题共6个小题，共74分

17.（本小题满分12分）

已知向量
,
,
,其中
分别为
的三边
所对的角.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)若
,且
，求边的长.

18.（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
平面
，
,
,
,为
的中点.

(Ⅰ)求证：
//平面
；

(Ⅱ)在线段
上是否存在点，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长
；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分.现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为、，设
为坐标原点，点的坐标为
，记
.

(Ⅰ)求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最大值”的概率；

(Ⅱ)求随机变量
的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）

设数列
的前项和为
，点
在直线
上.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)在
与
之间插入个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，求数列
的前项和
，并求使
成立的正整数的最小值.

21.（本小题满分13分）

已知椭圆
的右焦点在圆
上，直线

交椭圆于
、
两点.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若
(
为坐标原点），求的值；

(Ⅲ)设点
关于轴的对称点为
(
与点
不重合)，且直线
与轴交于点，试问
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分13分）

已知函数
，

，令
.

(Ⅰ)当
时，求
的极值；

(Ⅱ)当
时，求
的单调区间；

(Ⅲ)当
时，若对存在
，使得
恒成立，求的取值范围.