泗县二中2013届高三数学周考4

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一项符合要求)

1、已知集合
,
,
∩
=( )

A.
B.
C.
D.

2、设直线
的倾斜角为
,且
,则
满足：( )

A．
B.
C.
D.

3、若数列
等于（ ）

A． 1 B.2 C.
D．2－987

4、两个正数a、b的等差中项是
，一个等比中项是
，且
则双曲线
的离子心率e等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

5、给出下列四个命题：

①若直线l⊥平面α，l//平面β，则α⊥β；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角互为补角；④过空间任意一点一定可以作一个和两个异面直线都平行的平面。其中正确的命题的个数有( )

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

6、已知向量
，实数m，n满足
的最大值为( )

A．2 B.3 C. 4 D. 16

7、已知θ为一个三角形的最小内角，cosθ=
,则m的取值范围是（ ）

A. m≥3 B. 3≤m<7+4
C.
D. 3≤m<7+4
或

8、已知
展开式中有连续三项之比为
,且展开式的倒数第二项为
,则
的值为( ).

A.
B.
C.
D.
或
.

9、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、函数
的图象大致是( ).

11、已知
且
，则
的最大值是（ ）

A．1 B．2 C．3 D． 4

12、已知一个全面积为24的框架正方体，内有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为（ ）

A.
　B.
C.
D.

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

13、若x、y满足
,则
的最大值为 .

14、如图所示，二面角
的大小为
，点A在平面
内，
的面积为
，且
，过A点的直线交平面
于B，
，且AB与平面
所成的角为30°，则当
时，
的面积取得最大值为 。

15、若
成等差数列，则直线
被椭圆
截得线段的中点的轨迹方程为 .

16、已知
是定义在R上的函数，且满足
，现有四个命题：①
是周期函数；且周期为2； ②当
；

③
是偶函数；④
其中正确命题是

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、若函数
的图像与直线
相切，并且切点的横坐标依次成公差为
的等差数列．（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若点
是
图像的对称中心，且
[0,
]，求点A的坐标．

18、有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.

第一排

明文字符

A

B

C

D





密码字符

11

12

13

14



第二排

明文字符

E

F

G

H





密码字符

21

22

23

24



第三排

明文字符

M

N

P

Q





密码字符

1

2

3

4



（Ⅰ）求密码中有两个不同数字的概率。（Ⅱ）求密码中有三个不同数字的概率。

19、如图，等腰直角△
中，
，

平面
，
∥
，
.

（Ⅰ）求二面角
的正弦值；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离；

（Ⅲ）证明五点
在同一个球面上，

并求
两点的球面距离.

20、已知数列{an}中，an=2an-1+n(n≥2，n∈Z) （I）求证：数列{an}不可能为等比数列；

（II）设bn=(-1)n(an+n+2),Sn，为数列{bn}的前n项和，且对于任意的n∈N*，n≤10，都有Sn＜99，求a1的取值范围

21、已知双曲线
，过上焦点F2的直线与上支交于A、B两点，且线段AF2、BF2的长度分别为m、n.（1）证明mn≥1；

（2）若m>n，当直线AB的斜率
时，求
的取值范围.

22、已知函数
（x∈R，t为常数，t∈R）

（I）写出此函数F(x)在R上的单调区间；（II）若方程F(x)－k=0恰有两解，求实数k的值。

泗县二中2013届高三数学周考4

参考答案

一.选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

C

D

A

D

A

D

C

C

A

D



二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

13、8 14、
15、
16、① ② ④

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、解：（Ⅰ）

∵
的图像与
相切.

∴m为
的最大值或最小值. 即
或

（Ⅱ）又因为切点的横坐标依次成公差为
的等差数列．所以
最小正周期为
.

又

， 所以
即

令
．则
∴

由0≤
≤
得
或
,因此点A的坐标为
、
．

18、 解：（Ⅰ）由密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.

（Ⅱ）.由密码中只有三个数字，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.

19、解：方法一

（Ⅰ）取
的中点
，连结
，由
知
，

又

，故
，所以

即为二面角
的平面角.

在△
中，
，
，
，

由余弦定理有

，

所以二面角
的正弦值为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道
平面
，故平面
平面
，故
在平面
上的射影一定在直线
上，所以点
到平面
的距离即为△
的边
上的高.

故
.

（Ⅲ）易证△
为直角三角形，且
，取
的中点
，则由四边形
是矩形知
，故五点
在以
为球心，
为直径的球面上，故
两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是

方法二

以
点为坐标原点，以过
垂直于
的直线为
轴，以
所在直线为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系
，如图所示.

（Ⅰ）则
，
，

，
，设

是平面
的法向量，则有

，即
，取
，

得
，易知平面
的一个法向量为
，
，故所求角的正弦值为
.

（Ⅱ）
，故点
到平面
的距离为
.

（Ⅲ）易知
的中点
的坐标为
，故
，

而
，故五点
在以
为球心，
为直径的球面上，故
两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是

20、 a1q=2a1+2

解：（I）假设{an}为等比数列，公比为q，则
q=
,a1=-4a1q2=2a1q+3

∴a4=a1q3=
,但由递推公式得：a2=2（-4）+2=-6，a3=2(-6)+3=-9,a4=2(-9)+4=-14与假设矛盾，所以{an}不可能为等比数列………………………………………………3分

（II）bn+1=(-1)n+1[an+1+(n+1)+2]=(-1)n+1[2an+（n+1）+n+3]

=-2（-1）n·（an+n+2）=-2bn……………………………………………………4分

又b1=-（a1+3）

当a1=-3，bn=0(n=1，2，3…)…………………………………………………………5分

当a1≠-3时，（bn）是以-（a1+3）为首项，-2为公比的等比数列，即

bn=-（a1+3）·（-2）n-1，Sn=(a1+3)·

由Sn＜99，（C∈N*，n≤10）得：（a1+3）[（-2）n-1] ＜297………………………7分

①当n为偶数时，a＜
≥

∴当a1＜-
时,可使Sn＜99对于n=2，4，6，8，10成立………………………9分

②当n为奇数时，a1＞
≤
-3=-

∴当a1＞-
时，可使Sn＜99对于n=1，3，5，7，9成立………………………11分

综上知：a1∈（-
）…………………………………………………………12分

21、解：（1）易知双曲线上焦点为
.

设直线AB的方程为

当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和－1，

此时mn=1.

当
代入双曲线方程，消去x得

.

由双曲线的第二定义，知
，

∴
综上，知mn≥1.

（2）设直线AB的方程为
，代入双曲线方程，消去y并整理得

①

②

由①②，消去
即
③

由

即为所求.

22、（1）

∴