2013年4月杭州市重点高中2013高考数学命题比赛

数学（理科）卷1

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh

如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=
Sh

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

Pn(k)=C
pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式

棱台的体积公式 S = 4πR2

球的体积公式

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=
πR3

h表示棱台的高 其中R表示球的半径

第I卷（共50分）

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

（1）（原创）已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）（原创）已知
且
，则
是
的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）（原创）若复数
(
是虚数单位)，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）（引用）在
的展开式中，
的幂指数是整数的项共有（ ）

（A）3项 （B）4项 （C）5项 （D）6项

（5）（原创）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）（根据宁波市2013届高三上期末测试4题改编）函数
则该函数为（ ）

（A）单调递增函数，奇函数 （B）单调递增函数，偶函数

（C）单调递减函数，奇函数 （D）单调递减函数，偶函数

（7）（根据2010浙江省高考参考试卷第7题改编）已知
中，
，
．若圆
的圆心在边
上，且与
和
所在的直线都相切，则圆
的半径为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为
的等腰

三角形俯视图是半径为
的半圆，则该几何体的表面积是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）（根据2013萧山中学3月月考10题改编）已知点
是双曲线
的左焦点，过
且平行于双曲线渐近线的直线与圆
交于点
，且点
在抛物线
上，则该双曲线的离心率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）（根据2013届杭州一模17题改编）如图，在扇形
中，
，
为弧
上且与
不重合的一个动点，
，若
存在最大值，则
的取值范围为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第II 卷(共100分)

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域的面积是
，那么实数
的值为_______▲_____．

（12）（引用）记数列
的前
项和为
，且
，则
_______▲______．

（13）（原创）将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是__▲____．

（14）（原创）已知
为直线
上一动点，若在
上存在一点
使
成立，则点
的横坐标取值范围为_____▲____．

（15）（原创）函数
，在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是_____▲____．

（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程
没有实数根，那么实数
的取值范围是___▲___．

（17）（根据2013浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体
在空间直角坐标系中移动，但保持点
分别在
轴、
轴上移动，则原点
到直线
的最近距离为____▲____

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在
中，角
的对边分别为
，且
．

（I）求
的值；

（II）若
，且
，求
和
的值．

（19）（原创）（本小题满分14分）袋中有大小相同的
个编号为
、
、
的球，
号球有
个，
号球有
个，
号球有
个．从袋中依次摸出
个球，已知在第一次摸出
号球的前提下，再摸出一个
号球的概率是
．

（Ⅰ）求
、
的值；

（Ⅱ）从袋中任意摸出
个球，记得到小球的编号数之和为
，求随机变量
的分布列和数学期望
．

（20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为
的三棱柱
中，侧面
底面
，
．

（Ⅰ）求侧棱
与平面
所成角的正弦值的大小；

（Ⅱ）已知点
满足
，在直线
上是否存在点
，使
？若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

（21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆
的左顶点
，过右焦点
且垂直于长轴的弦长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过点
的直线
与椭圆交于点
，与
轴交于点
，过原点与
平行的直线与椭圆交于点
，求证：
为定值．

（22）（原创）（本小题满分14分）已知函数
.（
）

（Ⅰ）若
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若在区间
上，函数
的图象恒在曲线
下方，求
的取值范围．

2013年高考模拟试卷 数学（理科）答卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项























二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11、 12 、 13、

14、 15、 16、

17、

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18、（本题14分）

19、（本题14分）

20、（本题14分）

21、（本题15分）

22、（本题15分）

2013年高考模拟试卷 数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共50分．

（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C

（6）A （7）B （8）B （9）D （10）C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共28分．

（11）1 （12）
（13）
（14）

（15）
（16）
（17）

（1）B．本题考查集合运算．易得
，故
．

（2）A．本题考查充分必要条件．

或
，故
成立，为充分条件；而

或
，若
，则
无意义，则为不必要条件．

（3）D．本题考查复数的运算．由于
，故
，整理可得
．

（4）C．本题考查二项式定理．第
项
，故当
时，
的幂指数是整数，共5项．

（5）C．本题考查算法程序运算．由题意可知即求

时，
的最小值，故
．

（6）A．
，且
时，
单调递增；
时，
单调递增。所以
单调递增。

，
，所以
为奇函数。故选A。

（7）B．本题考查解三角形。如图，易得
，由于
为等腰三角形，故
应为
中点，即求
中点到
距离，由面积法可得
．

（8）B．本题考查三视图．根据三视图可知，几何体为如图所示的半圆锥，则

．

（9）D．本题考查圆锥曲线几何性质．如图，设抛物线
的准线为
，作
于
，

双曲线的右焦点为
，由题意可知
为圆
的直径，

所以
，且
，
，所以
，

。由抛物线性质可知
，且
与

相似，所以
，即
，解得
。

（10）C。本题考查平面向量运算与基本定理的运用。设射线
上存在为
，使
，
交
于
，
，

设
，
，

由
三点共线可知
=1，

所以
，

则
存在最大值，即在弧
（不包括端点）上存在与

平行的切线，所以
。

（11）1．本题考查线性规划基本知识的应用．如图阴影部分为可行域，

为等腰直角三角形，所以
，解得
．

（12）
．本题考查数列基本知识．当
时，
，由
，即
，所以，
．

（13）
.本题考查排列组合的应用．共可分为两类：每组分别为
人，则有
人；每组分别为
人，则有
人；所以共有
人．

（14）
．本题考查直线与圆的位置关系．设
，则圆心
到直线
的距离
，由于直线
与圆
相交，故
，即
，所以
，解得
．

（15）
。本题考查三角函数图像与性质的运用。当函数
递增时，
，即
，所以
，解得
。

（16）