四川省眉山市高中2013届第二次诊断性考试

数学试题卷（文科） 2013.04.9

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

? 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

? 5. 考试结束，将答题卡上交。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．

1、
为虚数单位，则复数
的虚部为

A．
B．
C．
D．

2、命题“存在
”的否定是

A．不存在
B.存在

C．对任意的
D.对任意的

3、抛物线
的焦点坐标是

A．
B．
C．
D．

4、已知直线
⊥平面
，直线

平面
，给出下列命题：①
∥


⊥
， ②
⊥


∥
， ③
∥


⊥
， ④
⊥


∥
.其中正确命题的序号是

A. ①③ B. ②③④ C. ①②③ D. ②④

5、将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得函数的最小正周期为

A．π B．2π C．4π D．8π

6、容量为
的样本数据，依次分为
组，如下表：

组号

1

2

3

4

5

6

7

8



频数

10

13





15

13

12

9



则第三组的频率是（ ）

A．0.21　　 B．0.28　　C．0.15　　D．0.12　

7、执行右边的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是

A．120 B．720 C．1 440 D．5 040

8、一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积是

A.
B.
C.
D.

9、等比数列
的公比
，
，
，

则

A. 64 B. 31 C. 32 D .63

10、已知函数
(a≠0)的导函数为
,
,且
，设
是方程
=0的两根，则|
|的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.
围

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.

11、
的展开式中
的系数等于 ．

12、已知向量
，
,若
, 则实数x的取值范围是 ．

13、已知实数
、
满足约束条件
的最大值为______.

14、已知
，若
（
为正整数）则
=________.

15、如图所示，
是定义在区间
上的奇函数，令
，并有关于函数
的四个论断：

①若
，对于
内的任意实数
，

恒成立；

②函数
是奇函数的充要条件是b=0；

③
，
的导函数
有两个零点.

④若
，则方程
必有3个实数根；

其中所有正确结论的序号是________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题12分）在三角形ABC中，
分别是角A、B、C的对边，

，
，且
∥
.

（1）求角A的大小；

（2）当角B为钝角时，求函数
的值域．

17、某种零件按质量标准分为
五个等级.现从一批该零件中随机抽取
个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级

1











频率













（1）在抽取的
个零件中，等级为
的恰有
个，求
；

（2）在（1）的条件下，从等级为
和
的所有零件中，任意抽取
个，求抽取的
个零件等级恰好相同的概率.

18、（本小题12分）

如图所示,正方形
与梯形
所在的平面互相垂直,
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在
上找一点
,使得
平面
,请确定

点的位置,并给出证明．

19、(12分)已知数列
为等差数列，
的前n项和

为Sn ,

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求
.

20、（13分）.设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆
上的两点，已知

，若
，椭圆的离心率
，短轴长为2，

O为坐标原点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

21、（14分）已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为45°，对于任意的

，函数
在区间
内总不是单调函数，

求m的取值范围；

（3）求证：

眉山市高中2013届第二次诊断性考试

数学 参考答案（文科）

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

D

C

A

C

A

B

B

D

A





二、填空题：

11.

12.

13.

14

15







10

89

②、③



三、解答题：

16、解 ：（Ⅰ）由
∥
得
，

由正弦定理得

，
、
，
，得
………5分

（Ⅱ）
·······7分

当角B为钝角时，角C为锐角，则
......8分

，
，
·····11分

综上，所求函数的值域为
.··············12分

17、（Ⅰ）解：由频率颁布表得
，

即
. ……………………………………………2分

由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，

得
. …………………………………………4分

所以
. ………………………………………5分

解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作x1 : x2 : x3；等级为5的零件有2个，记作y1 : y2.

从x1 : x2 : x3 : y1 : y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：

(x1 : x2):(x1 : x3):(x1 : y2):(x1 : y2):(x2 : x3):(x2 : y1):(x2 : y2):(x3 : y1):(x3 : y2):(y1 : y2)

共计10种. ……………………………………………9分

记事件A为“从零件x1 : x2 : x3 : y1 : y2中任取2件，其等级相等”.

则A包含的基本事件为(x1 : x2):(x1 : x3):(x2 : x3):(y1 : y2)共4个. …………11分

概率为
. ………………………………………………12分

18、证明：（Ⅰ）因为正方形
与梯形
所在的平面互相垂直，

所以
平面

………………………………………1分

因为
，所以

取
中点
，连接

则由题意知：四边形
为正方形

所以
，

则
为等腰直角三角形

则
…………5分

则
平面

则
………………7分

（Ⅱ）取
中点
，则有

平面
…………8分

证明如下：连接

由(Ⅰ)知
，所以
平面

又因为
、
分别为
、
的中点，所以

则
平面
………………10分

则平面
平面
，所以
平面
……………………12分

19、 解：由

，得
…………………………3分

∴
……………………………5分

(2)
………………………7分

………………………9分

…………………12分

20. 解：（1）

所以椭圆的方程为
……………………………………4分

（2）由题意，设AB的方程为y=kx+

………………………………6分

由已知
,得

=

解得
……………………………………………………………8分

(3)是，证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，即

当
，得

又A（x1,y1）在椭圆上，所以

所以
………………………………………10分

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

得到

代入整理，得
，

所以三角形的面积为定值 …………………………………………13分

21. (1)
,

当a>0,
的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；

当a<0,
的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；

当a=0时，
不是单调函数。 ……………………………4分

（2）由（1）得
，即a=-2……………………………5分

………………………………………6分

在区间（t,3）内总不是单调函数，且

由题意知，对于任意的

又

可以得到

……8分

（3）令

………………………………………………………………10分

由（1）知
上单调