眉山市高中2013届第二次诊断性考试

数学试题卷（理科） 2013.04.9

注意事项：

??1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

? 2.答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

? 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

? 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

? 5.考试结束，将答题卡上交。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选

项中．只有一项是符合题目要求的．

1、复数
的虚部是

A．
B．
C．
D．1

2、命题“存在
”的否定是

A．不存在
B．存在

C．对任意的
D．对任意的

3、已知
为等比数列.若
,且
与
的等差中项为
,则公比q

A．
B．
C．
D．

4、设

是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是

A．
B．

C．
D．

5、设
为奇函数，

该函数的部分图象如图1所示，
是边长为2的等边三

角形，则
的值为

A．
B．

C．
D．

6、设点M是半径为R的圆周上一个定点，其中O为圆心，连接OM，

在圆周上等可能地取任意一点N，连接MN，则弦MN的长超过
的概率为

A．
B．
C．
D．

7、执行图2的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是

A．120 B．720 C．1 440 D．5 040

8、已知某几何体的三视图如图3所示，其中正视图、侧视图均

是由直角 三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构

成，根据图中的数据可得此几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

9、某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有

A．18种 B.24种 C.36种 D.48种

10、函数
的定义域为
，若存在非零实数
使得对于任意
，有
，且
，则称
为
上的
高调函数。如果定义域为
的函数
是奇函数，当
时，
，且
为
上的4高调函数，那么实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.

11、
的展开式中
的系数为__________.

12、设x，y满足约束条件
的最大值为 .

13、设E、F分别为Rt△ABC的斜边BC上的三等分点，

已知AB=3，AC=6，则
___________

14、已知点
是抛物线
上的一点，
为抛物线的

焦点，点
在圆
上，则
的最小值为 .

15、如图所示，
是定义在区间
上的奇函数，令
，并有关于函数
的五个论断：

①若
，对于
内的任意实数
，

恒成立；

②若
，则方程
=0有大于2的实根

③函数
的极大值为
，极小值为
；

④若
，则方程
必有3个实数根；

⑤
，
的导函数
有两个零点. 其中所有正确结论的序号是________

三、解答题: 本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题12分）在三角形ABC中，
分别是角A、B、C的对边，

，
，且
∥
.

（1）求角A的大小；

（2）当B是钝角，求函数
的值域．

17、（本小题12分）

某示范高举办科技创新大赛，在50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：

实 用 性





1分

2分

3分

4分

5分



创

新

性

1分

1

3

1

0

1





2分

1

0

7

5

1





3分

2

1

0

9

3





4分

1

b

6

0

a





5分

0

0

1

1

3



（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；

（Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为
，求a、b.

18、（本小题满分
分）

如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=
，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

（1）求证：A1O//平面AB1C；

（2）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值.

19、（本小题12分）已知数列
为等差数列，
的前n项和为Sn ,

.

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
满足
，若不等式
恒成立，求实数k的取值范围.

.

20、（本小题13分）设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆
上的两点，已知
，若
，椭圆的离心率
，短轴长为2，O为坐标原点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

21、（本小题14分）函数
其中a为正常数，且函数
的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行。

（1）求两平行线的距离；

（2）若存在x使不等式
成立，求实m的取值范围；

（3）对于函数
公共定义域中的任意实数x0，我们把
的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数
在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

眉山市高中2013届第二次诊断性考试

数学 参考答案（理科）

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

D

C

A

D

B

B

C

B

A



二、填空题：

11.

12.

13.

14

15



240

9

10

4

②、⑤



三、解答题：

16、解 ：（Ⅰ）由
∥
得
，

由正弦定理得

，
、
，
，得
………5分

（Ⅱ）
……………………7分

当角B为钝角时，角C为锐角，则
......8分

，
，
……………11分

综上，所求函数的值域为
.………………………………………12分

17、（本小题满分12分）

（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，

∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为
. …………………4分

（Ⅱ）由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别人5件，b+4件，15件，15件，a+8件. …………………5分

∴“实用性”得分y的分布列为：

y

1

2

3

4

5



p













又∵“实用性”得分的数学期望为
，

.…………………10分

∴作品数量共有50件，
解得
. .………………12

18、

（Ⅰ）证明：如图（１），连结CO、A1O、AC、AB1，……1分

则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，

所以，四边形A1B1CO为平行四边形，………3分

所以A1O//B1C，

又A1O
平面AB1C，B1C
平面AB1C

所以A1O//平面AB1C………………6分

（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD,

又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，

所以D1O⊥底面ABCD，……………7分

以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图（2）所示的坐标系，则
（1，0，0），
（0，1，0），
（0，0，1），
（0，-1，0）..8分

所以
，…9分

设
为平面C1CDD1的一个法向量，

由
，得
，

令
，则
.……10分

又设
为平面AC1D1的一个法向量，

由
，得
，

令
，则
，……………………11分

则
，故所求锐二面角A-C1D1-C的余弦值为
…12分

19、 解：由

，得
…………………………3分

∴
……………………………5分

(2)
……………………………6分

……………………………8分

由条件，可知当
恒成立时即可满足条件。设
，当
时，由二次函数的性质，知
不可能恒成立；当k=0时，
恒成立；当k<0时，由于对称轴直线

上为单调递减函数；

，即可满足
恒成立。

由

综上可知，当k≤0时，不等式2kSn＜bn恒成立。…………………………………12分

（注：k<0的单调性，可用导数。求k的范围，也可用分离变量。）

20、 解：（1）

所以椭圆的方程为
……………………………………………………4分

（2）由题意，设AB的方程为y=kx+

………………………………………………6分

由已知
,得

=

解得
……………………………………………………………………8分

(3)是，证明如下：当直线AB的斜率不存在时，即

当
，得

又A（x1,y1）在椭圆上，所以

所以
………………………………………………10分

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

得到

代入整理，得
，

所以三角形的面积为定值…………………………………………………………13分

21、（1）

函数
的图象与坐标轴的交点为（0,a）,

函数
的图象与坐标轴的交点为（a，0），

由题意得
……………………………………………2分

又

∴函数
的图象在其坐标灿的交点处的切线方程分别为

∴两平行切线间的距离
…………………………………………………4分

（2）由

故
在
上有解

令
，则
……………………………………………………5分

当

当

故
，

即
在区间
上单调递减，故

即实数m的取值范围
…………………………………………………8分

（3）解法一：函数
的偏差为

设

则当
，
时，

在（0，t）内单调递减，在
上单调递增，

………………………………10分

故

即函数
在其公共定义域内的所有偏差都大2……………14分

解法二：由于函数
的偏差

令

在（0，+
上单调递增，
在（0，1）内单调递减，在（1，
）上单调递增………………………………………………………………………………10分

即函数
在其公共定义域内所有偏差都大2……………14分