浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-3

2013年高考模拟试卷数学卷（理科）

（考试时间120分钟，满分150分）

参考公式：

如果事件
互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件
相互独立，那么 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

棱锥的体积公式

如果事件
在一次试验中发生的概率是
，

则
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高

球的表面积公式

台体的体积公式

球的体积公式

其中
分别表示棱台的上、下底面积，

表示棱台的高 其中
表示球的半径

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）（原创）已知
为全集，
都是
的子集，且
，则
（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）（全品改编）执行如图1的程序框图，输出的T的值

为（ ）

（A）12 （B）20 （C）30 （D）42

（3）（原创）等比数列
中，
，则“
”

　是“
”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）（课本改编）设为虚数单位，则下列运算结果不是纯虚数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）（原创）已知
是平面
的一条斜线，点
，为过点
的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）（2007模拟题改编）已知点
、
，则直线
的倾斜角等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）（原创） 已知
三顶点坐标分别是
、
、
， 直线
与线段
、
都有公共点，则对于
下列叙述正确的是 （ ）

（A）有最大值而无最小值 （B）有最小值而无最大值

（C）既有最大值也有最小值 （D）既无最大值也无最小值

（8）（原创）如图2，正方体
中，

为
边的中点，点
在底面
和侧面

上运动并且使
，那么点

的轨迹是（ ）

（A）两段圆弧 （B）两段椭圆弧

（C）两段双曲线弧 （D）两段抛物线弧

（9）（2011模拟题改编）
中，内角
所对边长为
，满足
，

如果
，那么
的面积等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）以上都不对

（10）（2011模拟题改编）已知
是定义在
上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
的值域为
，且
；对任意
都有
．那么，关于
的方程
在区间
上根的情况是（ ） （A）可能没有实数根 （B）有且仅有一个实数根

（C）恰有两个实数根 （D）可能有无数多个实数根

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

（11）（课本题改编）若
的展开式中含
项，则最小自然数
．

（12）（2012北京高考题改编）如图3,
与
都是等腰直角三角形, 且
,
, 平面
平面
, 如果以
平面为水平面, 正视图的观察方向与
垂直, 则三棱锥
左视图的面积为__________.

（13）（2011模拟题改编）编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、

白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有

______种．

（14）（原创）首项
的等差数列
，其前
项和为
，对于一切
，总有

成立，则
．

（15）（全品改编）已知双曲线
的左右焦点分别为
，定点
，点
在双曲线的右支上运动，则
的最小值等于________．

（16）（2011温州模拟题）如图4，线段
长度为
，点

分别在
非负半轴和
非负半轴上滑动，以线段
为

一边，在第一象限内作矩形
，
，
为坐

标原点，则
的取值范围是 .

（17）（原创）实数
且
，
，则
的取值范围为________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（18）（2012杭州高三期中联考改编）（本题满分14分）

平面直角坐标系中，
满足
，
，

（Ⅰ）若
边长等于1，求
的值（只需写出
内的
值）；

（Ⅱ）若
恰好等于内角
，求此时内角
的大小．

（19）（2010高考模拟改编）（本题满分14分）

某种鲜花进价每束
元，售价每束
元，若卖不出，则以每束
元的价格处 理掉．某节日需求量
（单位：束）的分布列为

200

300

400

500















 （Ⅰ）若进鲜花
束，求利润
的均值．

（Ⅱ）试问：进多少束花可使利润
的均值最大？

（20）（原创）（本题满分14分）

如图5，
的三边长分别为
、
、
，
为其内心；取
、

、
的中点
、
、
，并按虚线剪拼成一个直三棱柱
（如

图6），上下底面的内心分别为
与
；

（Ⅰ）求直三棱柱
的体积；

（Ⅱ）直三棱柱
中，设线段
与平面
交于点
，求二面角

的余弦值．

（21）（全品改编）（本题满分14分）

定长等于
的线段
的两个端点分别在直线
和
上滑 动，线段
中点
的轨迹为
；

（Ⅰ）求轨迹
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线与轨迹
交于
两点，问：在
轴上是否存在定点
，

使得不论如何转动，
为定值．

（22）（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）（本题满分16分）

设函数
，
，（其中
为自然底数）；

（Ⅰ）求
（
）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函数
使得
且
对一切
恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）数列
中，
，
，求证：
．

2013年高考模拟试卷数学卷（理科）

答题卷

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11 ________. 12 ________. 13________ .14________.

15________. 16________. 17____ ____.

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

2013年高考模拟试卷数学卷（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）A；（6）B；（7）D；（8）C （9）C；（10）B

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

(11) 7； (12)
； （13）24； （14）
或
；

（15）11； （16）
； （17）
．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，

（18）解：（Ⅰ）因为
，所以
，-------2分

若
边长等于1，则
，在
内
或
或
----5分

由于
与
不共线，所以
或
．----------------------------7分

（Ⅱ）


，--10分

所以
，
---------------------------12分

所以
．-----------------------------------------------------14分

（19） 解：（Ⅰ）销售量
（单位：束）的分布列为

200

300

400













所以
，-----------------------------------------------4分

而
，所以
．--------------7分

（Ⅱ）设进
（
）束花，当
时，销售量
（单位：束）的

分布列为

200

300

400

















 可得
；而
；

同理可对其它区间讨论后得

；-------------------------11分

易知，
时，
取最大值
．------------------------------14分

（20）解：（Ⅰ）易知
为直角三角形，且其内切圆 半径等于2，--------1分

所以直三棱柱
的高等于1，-----------------------------2分

体积
； ---------------------------------------5分

（Ⅱ）如图7以
为原点建立空间直角坐标系，则

，
，设平面

的法向量
，则
，

所以
--------------------7分

再设
，则由
得

；即