湖南师大附中

2013届高三年级第七次月考

数学（理）试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：

（1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；

（2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；

（3）请勿折叠答题卡。保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

3．本试题卷共6页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={直线}，P={圆}，则集合M ∩P中的元素的个数为

A．0 B．1 C．2 D．0或1或2

2．复数
在复平面上对应的点不可能位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．“
”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第二象限内，∠AOC=
，且

的值分别是

A．
B．1，
C．-1，
D．—
，1

5．若函数
上为单调减函数，则a的取值范围为

A．（1，+∞） B．（1，3）

C．（0．1）∪（1．2
） D．（1，2
）

6．设
是公差为正数的等差数列，若
等于

A．120 B．105 C．90 D．75

7．我们把离心率为
的双曲线
称为黄金双曲线．如图是双曲线

的图象，给出以下几个说法：

①双曲线
是黄金双曲线；

②若
，则该双曲线是黄金双曲线；

③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），

B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双

曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的个数为

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

8．平面上有两个定点A，B，另有4个与A，B不重合的动点C1，C2，C3，C4。若使|sin∠ACiB—sin∠ACjB|
，则称（
）为一个好点对．那么这样的好点对

A．不存在 B．至少有一个 C．至多有一个 D．恰有一个

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）

9．（选修4—1：几何证明选讲）如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O。，已知∠BPA=30°，PA =
，PC=1，则圆O的半径等于 。

10．（选修4—4：坐标系与参数方程）设A，B分别为直线

为参数）和曲线C：
上的点，则AB的最小值为 ．

11．（选修4—5：不等式选讲）不等式
的解集是 。

（二）必做题（1 2至1 6题）

12．一个几何体的三视图及长度数据如图所示，则该几何体的体积为 。

13．如果执行下边的程序框图，输出的结果为2 070，则判断框中应填人的条件是 。

14．已知X～N（2，4），且P（X

15．若圆
对称，则ab的取值范围为 ．

16．将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a>b）的比值
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若
表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足
则（1）f（3）= ；（2）f（2013）= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分1 2分）

已知向量
是函数
的任意两个相异零点，且
的最小值为
．

（1）求ω的值；

（2）若函数
上无零点，求实数m的取值范围．

18．（本小题滴分1 2分）

春节期间，某商场进行促销活动，方案是：顾客每买满200元可按以下方式摸球兑奖：箱内装有标着数字20,40，60，80，1 00的小球各两个，顾客从箱子里任取三个小球，按三个小球中最大数字等额返还现金（单位：元），每个小球被取到的可能性相等．

（1）若有三位顾客各买了268元的商品，求至少有二个返奖不少于80元的概率；

（2）在（1）的条件下，设返奖不少于80元的人数为ξ，求ξ的数学期望．

19．（本小题满分1 2分）

已知梯形ABCD中，BC∥AD，AC=2BC=4，CD=
，AB=
．现沿对角线AC将△ACD所在平面折叠到与平面ABC成直二面角，如图所示．以AB的中点为球心、AB为直径的球面交DC于点E，交DB于点F．

（1）求直线BC与平面AEB所成的角的正弦值；

（2）求三棱锥F—AEB的体积．

20．（本小题满分1 3分）

为了改善人居环境，市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园，设计将上面的半网形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区C到点A，B的直线道路；经测量得AC=6，CB=10，∠CAB=90°．

（1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距离相等，请确定湖心亭的具体位置；

（2）拟在半网形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．

21．（本小题满分13分）

如图，设抛物线
的准线与x轴交于F1，且C1的焦 点为F2；以F1，F2为焦点，离心率
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P。

（1）是否存在的实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m，若不存在，请说明理由；

（2）若m=1，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1交于A1，A2，以线段A1A2为直径作圆，若圆经过点P，求直线l的斜率。

22．（本小题满分13分）

已知
相切。

（1）若对
内的一切实数x，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当
时，求最大的正整数k，使得对
…是自然对数的底数）内的任意k个实数
成立；

（3）求证：