吉林省2013年高考复习质量监测

文科数学

第I卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z1 = i , z2 = 1 + i, 那么复数z1·z2在复平面上的对应点所在象限是

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）已知集合A=﹛x︱-10﹜,则A∩B为

A（0，
） B (0,1) C (-1,!) D ￠

（3）命题“
”的否定是

（A）
(B)

(C)
(D)

（4）下列函数中，既是奇函数，又在R上是增函数的是

A y =
B y =- x ︱x︱ C y = 2x+2-x D y = 2x -2-x

(5)双曲线
的离心率是2，则渐近线方程为

A 3x ± y = 0 B x ±
y=0 C x ± 3y = 0 D
x ± y = 0

(6) 直线kx – y + 3 = 0与圆（x -3）2+( y - 2 )2 = 4相交于A，B两点，若︱AB︱≥2
，则实数k的取值范围是

A （- ∞，-
） B [-
, 0] C [0,+ ∞] D (- ∞, -
)∪[0, +∞]

(7) 在区间[0，10]上任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,10]上的概率为

A
B
C
D

(8) 已知三棱锥S—ABC的四个顶点都在半径为1的球面上，底面ABC是正三角形，SA = SB = SC，且平面ABC过球心，则三棱锥S-ABC的体积是

A
B
C
D

(9) 将函数y =
sin2x的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为

A y =
sinx B y = -
cosx C y =
sin4x D y =-
cos4x

（10）函数f(x)=
的图象大致为

11、已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则它的俯视图可能是

（12）已知函数f(x)=
设方程f(x) =2-x + b (b
R)的四个不等实根从小到大依次为x1 ,x2, x3 ,x4, 对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为

①0 < x1·x2 < 1 ② (6 - x3 )·(6-x4)>1 ③ 9 < x3·x4 < 25 ④ 25 < x3·x4 < 36

A 1 B 2 C 3 D 4

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、设单位向量a,b的夹角为60°，则∣a + 2b∣= .

14若实数x,y满足
, 则x-y的最大值为 。

15、若执行如图所示的程序框图，则输出的k值为 。

16设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acosB-bcosA =
c,则tan2B·tan3A的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

在等差数列﹛an﹜中，a1 + a2 +a3 = 6, a5 = 5.

(I)求数列﹛an﹜的通项公式：

（II）设bn =
(
)，求数列﹛bn﹜的前n项和Sn。

18、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥A-BCC1B1中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直，BC = 2，M,D分别为AB1，CC1中点。

（I）求证：BD ⊥AB1 ：

（II）求三棱锥M-ABD的体积。

19、（本小题满分12分）

某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：

赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。

1、从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率；

2、电视台决定，复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关？

甲班

乙班

合计



签约歌手









末签约歌手









合计









下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：K2=
],其中n = a +b +c +d

20、(本小题满分12分)如图，已知点A（0，1），点P在圆C：x2 + (y +1 )2 = 8上，点M在AP上，点N在CP上，且满足AM = MP，NM ⊥AP，设点N的轨迹为曲线E。

(I)求曲线E的方程；

(II) 过原点且斜率为k(k>0)的直线交曲线E于G，F两点，其中G在第一象限，它在y轴上的射影为点Q，直线FQ交曲线E于另一点H，证明：GH ⊥ GF。

21、（本小题满分12分）

设函数f(x) =x2 + bx - a·lnx.

(I) 在点（1，f(1)）处的切线与y轴垂直，1是函数f(x)的一个零点，求f(x)的单调区间；

(II) 若对任意b属于[ - 2 ,- 1 ], 及任意x属于（1 ，e ）(e 为自然对数的底数)，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

22、(本小题满分10分) 选修4-1： 几何证明选讲

如图，已知ABCD为直角三角形，其中∠B =∠C = 90°，以AD为直径作⊙O交BC于E，F两点。证明：

(I) BE = CF

(II) AB ·CD = BE ·BF

23、（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，
） ，且倾斜角为150°.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
=0 (θ为参数，
> 0).

I 、写出直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程：

II、设直线l与圆C相交于A,B两点，求 ︱PA︱ ·︱PB︱的值。

24、（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲

已知f(x) = ︱ax + 1︱ (a
R)，不等式f(x) >5的解集为﹛x︱x>2或x<-3﹜.

(I)求a 的值；

(II) 若不等式f(x) –f(
) ≤k 在R上有解，求k的取值范围。

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文科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4． 只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题

（1）（B） （2）（A） （3）（B） （4）（D） （5）（D） （6）（B）

（7）（A） （8）（C） （9）（D） （10）（A） （11）（C） （12）（C）

二、填空题

（13）
（14）6 （15）5 （16）-512

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）设数列{
}公差为d.

∵
，
，

∴
， ∴
，

即数列{
}的通项公式为
. …………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
， …………………………………………8分

∴

. ……………………………………………………………12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
．

为正三角形，
．

平面
平面
，

平面
平面

平面

平面
，

∴
．…………………………………………………………………………4分

∵正方形
中，
分别为
的中点，∴
.

又
，
平面
，

．…………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）连结
，则
.

∴三棱锥
的体积为
.……………………………………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. …………2分

为拥有“优先挑战权”的选手编号为1，2，3，其余3人编号为A，B，C.

被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：

123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，

23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，

3AB，3AC，3BC，

ABC，……………………………………………………………………………………4分

其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：

1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，

∴所求概率为
. …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
列联表：

甲班

乙班

合计



签约歌手

3

10

13



未签约歌手

17

10

27



合计

20

20

40



 ………………………………………………9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关.

…………………………………………………12分

（20）解：

（Ⅰ）NM为AP的垂直平分线，∴|NA|=|NP|，

又∵|CN|+|NP|=
，∴|CN|+|NA|=
>2.

∴动点N的轨迹是以点
，
为焦点的椭圆，………………………3分

且长轴长
，焦距
，∴
，

∴曲线E的方程为
.…………………………………………………………5分

（Ⅱ）设G(x1，kx1)，H(x2，y2)，则F(－x1，－kx1)，Q(0，kx1)，

直线FQ的方程为y＝2kx＋kx1，

将其代入椭圆E的方程并整理可得

(2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x12－2＝0.

依题意可知此方程的两根为－x1，x2，于是由韦达定理可得

－x1＋x2＝
，即
.

因为点H在直线FQ上，

所以y2－kx1＝2kx2＝
.…………………………………………………………9分

于是
＝(－2x1，－2kx1)，

＝(x2－x1，y2－kx1)＝(
，
)．

而
等价于
.…………………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）
，

∵
，
，∴
，
.……………………………………………3分

∴

，

∴令
，得
的增区间

令
，得
的减区间
. ………………………………………………5分

（Ⅱ）根据题意，对任意
，及任意
，使得
成立，

即
成立，

令
，
，则
是关于b的一次函数且为增函数，
在
上恒成立，

即
在
上恒成立，………………………………………………………7分

令

，
，
，

令
，
，

设
，
，所以
为增函数，所以
，

所以
，
为增函数，所以
，

所以
，
为增函数，所以
，…………11分

所以
. ……………………………………………………………………12分

（22）证明：

（Ⅰ）过O作OG⊥EF，则GE＝GF，OG∥AB．

∵O为AD的中点，∴G为BC的中点．

∴BG＝CG， ∴BE＝CF. ………………………………5分

（Ⅱ）设CD与⊙O交于H，连AH，∵∠AHD＝90°，

∴AH∥BC, ∴AB＝CH．∵CD·CH＝CF·CE，

∴AB·CD＝BE·BF. …………………………………………………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）由已知得，

直线
的参数方程为
， ………………………………………3分

圆
的直角坐标方程为
. ………………………………………………5分

（Ⅱ）将
代入
，

整理得
，设方程两根分别为
则

根据参数
的几何意义，得点
到
两点的距离之积为
. ……………10分

（24）解：

（Ⅰ）由|ax＋1|＞5得
或
．

又f(x)＞5的解集为{x|
或
}，

当a＞0时，
或
，得a＝2．

当a≤0时，经验证不合题意．

综上，
. ……………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）设g(x)＝f(x)－
，则

则函数
的图象如下：

由图象可知，g(x)≥
，

故原不等式在
上有解时，k≥
．

即
的取值范围是k≥
．………………………………………………………10分