湖南师大附中

2013届高三年级第七次月考

数学（文）试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：

（1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；

（2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；

（3）请勿折叠答题卡。保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

3．本试题卷共6页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z满足等式
在复平面内对应的点的坐标为

A．
B．
C．
D．

2．设全集
=

A．
B．

C．
D．

3．把二进制数110 011（2）化为十进制数等于

A．49 B．50 C．5 1 D．52

4．已知
的夹角为60°，则
方向上的投影为

A．-2 B．2

C．1 D．-1

5．已知实数x，y满足不等式组
的取值范围是

A．[
） B．（
） C．[
] D．[
）

6．已知函数
上单调递增，则实数a的取值范围为

A．（1，2） B．（2，3） C．（2，3] D．

7．已知双曲线
的两条渐近线均与圆
相切，则该双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
上为减函数，且
是R上的偶函数，若
，则实数a的取值范围是

A．a≤1 B．a≥3 C．1≤a≤3 D．a≤1或a≥3

9．若函数
对定义域的每一个值
，在其定义域内都存在唯一的
成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=x是“依赖函数”；②
是“依赖函数”；③
是“依赖函数”；④
是“依赖函数”；⑤若
都是“依赖函数”，且定义域相同，则
是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

10．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程是
为参数，，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴连立极坐标系，则圆心C的极坐标是 .

11．已知
的最小值为 。

12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 ．

13．已知数列
的前n项和
，则此数列的通项公式为 。

14．观察下列等式：
；

由以上各式推测第n个等式为 。

15．在平面直角坐标系中，定义
两点之间的“折线距离”。

（1）若
，则P，Q两点间的“折线距离”等于 ；

（2）原点O（0，0）与直线
的“折线距离”的最小值是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分1 2分）

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=
，AB⊥BC，CD⊥BD，如图①．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图②．

（1）求证：CD⊥A′B；

（2）求三棱锥A′—BCD的体积．

17．（本小题满分1 2分）

某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如下表．大会组委会为使颁奖仪式有序进行，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就座，其中亚军队有5人．

（1）求季军队的男运动员人数n；

（2）从前排就座的亚军队5人（3男2女）中随机抽取2人上台领奖，请列出所有的基本事件，并求亚军队中有女生上台领奖的概率．

18．（本小题满分12分）

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且1+cos B=
-

（1）若A
，求边c的大小；

（2）求AC边上高的最大值．

19．（本小题满分1 3分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；

（2）现有两个奖励函数模型：①
；②
试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

20．（本小题满分1 3分）

已知点P是圆
上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件
的点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设过点N（1，0）且斜率为
的直线l被曲线C所截得的弦的中点为A，O为坐标原点，直线OA的斜率为
的最小值．

21．（本小题满分1 3分）

已知函数
其中a为非零常数．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为45°，试探究当实数m在什么范围内取值时，对于任意
，函数
在区间（t，3）上总存在极值？

（3）当a=2时，设函数
若在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上至少存在一个
成立，求实数p的取值范围．